Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.

Теорема

Якщо задана неперервна функція $f:S^n \to \mathbb{R}^n$, де $S^n$ - сфера в $(n+1)$-мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки $a, b \in S$, що $f(a)=f(b)$.

Приклади та інтерпертація

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає: на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

Наслідки

• З теореми Борсука — Улама випливає теорема Брауера про нерухому точку.
• Жодна підмножина $\R^n$ не є гомеоморфною до $S^n$.
• Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо $S^n$ покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Улама)
• Для довільних компактних множин $A_1,\ldots, A_n$ в $\R^n$ існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.

Література

• K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
• Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
• L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
• Su, F.E. - Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction // The American Mathematical Monthly. — Т. 104. — (Nov. 1997) С. 855–859.
• Allen Hatcher Algebraic Topology

Відео ілюстрація

• Borsuk-Ulam Theorem - Explained by a Youtube Nerd (відео, eng.)
• Лема Борсука і Теорема Борсука-Улама (відео, eng.)