Теорема Борсука — Улама

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Бо́рсука - У́лама стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Уламом, а в 1933 році вона була доведена Каролем Борсуком.

Теорема[ред.ред. код]

Якщо задана неперервна функція f:S^n \to \mathbb{R}^n, де S^n - сфера в (n+1)-мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки a, b \in S, що f(a)=f(b).

Приклади та інтерпертація[ред.ред. код]

З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. Це припускає, що температура і атмосферний тиск безперервно змінюються. Для випадку ж, коли n = 1, випливає: на земному екваторі завжди існує пара протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.

Наслідки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
  • Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
  • L. Lyusternik and S. Shnirel’man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
  • Su,, F.E. (Nov. 1997). «- Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction». The American Mathematical Monthly 104 (9). с. 855–859. 
  • Allen Hatcher Algebraic Topology

Відео ілюстрація[ред.ред. код]