Теорема Брауера про інваріантність областей

Теорема про інваріантність областей стверджує, що образ відкритої підмножини евклідового простору при неперервному ін'єктивному відображенні у цей же евклідів простір є відкритою множиною. Теорема була доведена Лейтзеном Брауером.

Формулювання

Нехай $U$ — відкрита підмножина у $\mathbb {R} ^{n}$ і $f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ — ін'єктивне неперервне відображення. Тоді образ $B=f(U)$ є відкритою підмножиною у $\mathbb {R} ^{n}$, і $f$ є гомеоморфізмом між $U$ і $B,$ тобто є відкритим і замкнутим відображенням.

Образ ін'єктивного неперервного відображення відкритого інтервалу в площину є негомеоморфним самому інтервалу.

Зауваження

• Як видно на картинці, твердження теореми не є вірним для відображення між евклідовими просторами різної розмірності
• Також твердження є невірним для просторів нескінченної розмірності. Наприклад, відображення правого зсуву

  $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$

гільбертового простору у себе є неперервним і ін'єктивним, але не є відкритим.

Доведення

Дане доведення використовує властивості відкритих і замкнутих відображень, а також теорему Брауера — Жордана, що є узагальненням теореми Жордана про криві.

Для доведення теореми достатньо довести, що для будь-якої відкритої множини $V\subset U$ образ $f(V)$ є відкритою підмножиною у $\mathbb {R} ^{n}$. Більш того достатньо довести твердження для елементів деякої бази топології, наприклад відкритих куль виду $D=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ \lVert x-x_{0}\rVert <\delta \}$ радіуса $\delta$ із центром $x_{0}$, що із своїм замиканням $S=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ \lVert x-x_{0}\rVert =\delta \}$ належать U.

$S$ є компактною множиною і $f|_{S}$ є ін'єктивним неперервним відображенням із компактного простору $S$ у простір $\mathbb {R} ^{n}$, що є гаусдорфовим. Як неперервне відображення із компактного простору в гаусдорфовий $f|_{S}$ є замкнутим відображенням (замкнута підмножина компактного простору є компактною, її образ при неперервному відображенні теж буде компактною підмножиною, а компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнутою; тобто образ замкнутої множини при таких умовах теж э замкнутою множиною). Оскільки $f|_{S}$ є ін'єктивним, то він також є гомеоморфізмом. Тому образ $f(S)$ є гомеоморфним сфері і згідно з теоремою Брауера — Жордана доповнення $\mathbb {R} ^{n}\setminus f(S)$ є об'єднанням двох компонент зв'язності $U_{1},U_{2}$ перша з яких є обмежена, а друга — необмежена.

Множина $f({\bar {D}})$ (де ${\bar {D}}$ є замиканням $D$) є компактною, як образ компактної множини при неперервному відображенні. Тому $f({\bar {D}})$ є обмеженою множиною і $\mathbb {R} ^{n}\setminus f({\bar {D}})$ є необмеженою, зв'язаною областю. Звідси $\mathbb {R} ^{n}\setminus f({\bar {D}})\subseteq U_{2}$ або еквівалентно $U_{1}\subseteq f(D).$

Множина $D$ є зв'язаною, тому і $f(D)$ є зв'язаною і тому міститься в одній із компонент зв'язності $U_{1},U_{2}$. Оскільки $U_{1}\subseteq f(D)$ то цією компонентою є $U_{1}$ і тоді також $f(D)\subseteq U_{1}$ і остаточно $f(D)=U_{1}.$ Тобто образом довільної відкритої множини $D$ із вказаної бази є відкрита множина $U_{1}$ і відображення є відкритим.

Наслідки

• З теореми випливає, що Евклідові простори різної розмірності не є гомеоморфними.
• За допомогою теореми можна довести багато тверджень про існування опуклих многогранників, зокрема існування опуклого многогранника з даною розгорткою

Узагальнення

• Теорема про інваріантності області допускає пряме узагальнення на відображення між многовидами однакової розмірності.
• Існують також узагальнення для деяких видів неперервних відображень з банахових просторів у себе.

Див. також

• Відкрите відображення
• Замкнуте відображення
• Теорема Брауера про нерухому точку
• Теорема Жордана

Література

• Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595.