Теорема Гурвіца (комплексний аналіз)

Теорема Гурвіца — твердження в комплексному аналізі, що описує зв'язок нулів голоморфної функції з нулями послідовності голоморфних функцій, що нормально (рівномірно на компактах) збігаються до неї. Теорема названа на честь німецького математика Адольфа Гурвіца.

Твердження теореми

Нехай {f_k} послідовність голоморфних функцій на зв'язаній відкритій множині G, що рівномірно збігаються на усіх компактних підмножинах множини G до голоморфної функції f. Якщо f має нуль порядку m в точці z₀ то для довільного достатньо малого, дійсного числа ρ> 0 і для досить великих k ∈ N (що залежать від ρ), функції f_k матимуть по m нулів, у околі |z−z₀| < ρ, з урахуванням кратності. Крім того, ці нулі сходяться до z ₀ при k → ∞.

Зауваження

Аналог теореми для випадку дійсних змінних не є справедливим. Наприклад функції $f_{i}(x)=x^{2}+1/i\,$ рівномірно на всіх компактних підмножинах дійсних чисел збігаються до функції $f(x)=x^{2}\,$ і всі згадані функції є нескінченну кількість разів диференційовними. Проте функція f має нуль порядку 2 для x = 0, тоді як функції f_k нулів не мають.

Зрозуміло, якщо розглядати ці функції у комплексній площині твердження теореми буде справедливим, оскільки функції f_k мають по два корені, які прямують до нуля при зростанні k.

Наслідки

• Нехай G — зв'язана відкрита множина і {f_k} — послідовність голоморфних функцій, які сходяться рівномірно на компактах y G до голоморфної функції f. Якщо кожна функція f_k не рівна нулю в усіх точках множини G, то f або тотожно дорівнює нулю, або також не дорівнює нулю на всій множині G.

Нехай f не тотожно рівна нулю але має нуль в точці z_0. Тоді згідно теореми Гурвіца в околі |z−z₀| < ρ точки z₀ всі функції f_k для достатньо великих k теж мають нулі, що суперечить умовам накладеним на ці функції.

• Якщо {f_k} є послідовністю голоморфних ін'єктивних функцій на зв'язаній відкритій множині G (такі функції називаються однолистими або унівалентними на G), і вони рівномірно сходяться на компактах у G до голоморфної функції f, то f є або теж ін'єктивною або константою.

Нехай функція f не є константою і w₀ — довільне значення, яке вона набуває в множині G. Нехай z₁ і z₂ такі що f(z₁) = f(z₂) = w₀. Якщо визначити функції g = f — w₀ і g_k = f_k — w₀ то очевидно, що g_k є голоморфними ін'єктивними функціями, що рівномірно на компактах збігаються до g, а z₁ і z₂ є нулями функції g. Згідно теореми Гурвіца існує послідовність комплексних чисел z_k1 що збігається до z₁ і для достатньо великих k число z_k1 є нулем функції g_k. Таким самим чином існує послідовність комплексних чисел z_k2, що збігається до z₂ і для достатньо великих k число z_k2 є нулем функції g_k. Відповідно для всіх достатньо великих k оба числа z_k1 і z_k2 є нулями функції g_k і оскільки функції g_k є ін'єктивними то z_k1 = z_k2 для всіх достатньо великих k. Тобто, починаючи з деякого індексу, послідовності приймають однакові значення і відповідно їхні границі рівні між собою: z₁ = z_2. Тобто g має лише один нуль і відповідно f набуває значення w₀ лише в одній точці множини G. Зважаючи на довільність вибору w₀, f є ін'єктивною на множині G.

• Більш загально, нехай {f_k} є послідовністю голоморфних функцій на зв'язаній відкритій множині G і ця послідовність рівномірно сходиться на компактах у G до голоморфної функції f не рівної константі. Тоді якщо починаючи з якогось індексу всі члени послідовності приймать значення a не більше, ніж у n точках області G то і функція f є рівною a не більше, ніж у n точках області G.

Доведення

Нехай f голоморфна функція на відкритій підмножині комплексної площини, що має нуль порядку m в точці z₀, і {f_n} — послідовність функцій, що рівномірно сходиться на компактних підмножинах до f. Якщо f не рівна всюди нулю то кожен її нуль є ізольованою точкою тобто можна знайти таке дійсне число ρ > 0, що f(z) ≠ 0 для всіх z, що задовольняють умову 0 < |z−z₀| ≤ ρ. Оскільки множина |z−z₀| = ρ є компактною, будь-яка дійсна функція на ній набуває своїх мінімальних і максимальних значень.

Зокрема для фнукції |f(z)| на цій множині мінімальне значення є додатнім, тобто існує дійсне число δ > 0 для якого |f(z)| > δ для всіх z на колі|z−z₀| = ρ. Оскільки f_k(z) збігається рівномірно в замкнутому крузі (який є компактною множиною), існує натуральне число N таке що |f_k(z)| ≥ δ/2 для всіх натуральних чисел k ≥ N і всіх комплексних чисел z на визначеному колі. Тому функції f_k′(z)/f_k(z) є коректно визначеними на колі |z−z₀| = ρ для достатньо великих k. Оскільки f_k(z) рівномірно збігається до f на колі то також f_k′(z) на цьому ж колі рівномірно збігається до f' і також маємо рівномірну збіжність:

${\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}.$

Позначаючи кількість нулів функції f_k(z) в крузі |z−z₀| ≤ ρ через N_k, можна застосувати принцип аргументу:

$m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}$

Перестановка границі і інтегралу є допустимою зважаючи на рівномірну збіжність послідовності у замкнутому крузі. Отож N_k → m при k → ∞. Оскільки всі N_k є цілими числами, N_k мають бути рівними m для всіх достатньо великих k.

Див. також

• Теорема Руше
• Принцип аргументу

Джерела

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.(англ.)
• Greene, Robert E., Krantz, Steven G., Function Theory of One Complex Variable, AMS, 2006.(англ.)

Посилання

• Відео-лекція про теорему Гурвіца і її наслідки(англ.)