Ізольована точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ізольована точка множини в загальній топології — точка множини, що перетин деякого її околу з множиною складається з єдиної точки.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дано топологічний простір (X,\mathcal{T}), і підмножина A \subset X. Точка x \in A називається ізольованою точкою множини A, якщо існує окіл U \in \mathcal{T} такий, що U \cap A = \{x\}.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Підмножина топологічного простору всі точки якої є ізольованими називається дискретною множиною. Простір, кожна точка якого є ізольованою, є дискретним.

Властивості[ред.ред. код]

  • Довільна функція f:A\subset X \to Y, де Y - множина з власною топологією, завжди неперервна в ізольованій точці x.

Приклади[ред.ред. код]

Нехай X = \mathbb{R} — множина дійсних чисел із стандартною топологією.

  • Якщо A = {0} \cup [1,2], то точка x = 0 є ізольованою, а всі інші не є ізольованими.
  • Якщо A = {0} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\}, то x = 0 не є ізольованою точкою, а всі інші ними є.
  • Множина натуральних чисел \mathbb{N} є дискретною.
  • Множина раціональних чисел не має ізольованих точок. Зокрема, вона не є дискретною, хоч і є зліченною.
  • Існують незвідні многочлени від двох змінних f(x,y), графіки яких (тобто множина точок площини, в яких f(x,y)=0) містять одну або декілька ізольованих точок. Наприклад, графік функції y^2 = x^2*(x-1) складається з кривої, що лежить в напівплощині x>1, і ізольованої точки (0;0).

Див. також[ред.ред. код]