Ізольована точка

Ізольована точка множини в загальній топології — точка множини, що перетин деякого її околу з множиною складається з єдиної точки.

Визначення

Нехай дано топологічний простір $(X,\mathcal{T})$, і підмножина $A \subset X$. Точка $x \in A$ називається ізольованою точкою множини $A$, якщо існує окіл $U \in \mathcal{T}$ такий, що $U \cap A = \{x\}.$

Пов'язані визначення

Підмножина топологічного простору всі точки якої є ізольованими називається дискретною множиною. Простір, кожна точка якого є ізольованою, є дискретним.

Властивості

• Довільна функція $f:A\subset X \to Y$, де $Y$ - множина з власною топологією, завжди неперервна в ізольованій точці $x$.

Приклади

Нехай $X = \mathbb{R}$ — множина дійсних чисел із стандартною топологією.

• Якщо $A = {0} \cup [1,2]$, то точка $x = 0$ є ізольованою, а всі інші не є ізольованими.
• Якщо $A = {0} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\},$ то $x = 0$ не є ізольованою точкою, а всі інші ними є.
• Множина натуральних чисел $\mathbb{N}$ є дискретною.
• Множина раціональних чисел не має ізольованих точок. Зокрема, вона не є дискретною, хоч і є зліченною.
• Існують незвідні многочлени від двох змінних f(x,y), графіки яких (тобто множина точок площини, в яких f(x,y)=0) містять одну або декілька ізольованих точок. Наприклад, графік функції y^2 = x^2*(x-1) складається з кривої, що лежить в напівплощині x>1, і ізольованої точки (0;0).

Див. також

• Гранична точка
• Точка дотику
• Внутрішня точка