Антидискретна топологія

Антидискретна топологія або тривіальна топологія — це топологія, яка складається з порожньої та найбільшої множини. Це мінімальний набір множин, який може буде в топології.

Іншими словами, антидискретна топологія на непорожній множині $X$ має вигляд $\tau =\{\varnothing \,,X\}$. Топологічний простір $(X,\tau )$ називається антидискретним.

Властивості

• Ця топологія є найслабшою для $X$.
• $\varnothing$, $X$ є одночасно відкритими і замкненими множинами.
• Довільна підмножина є компактною і секвенціально компактною.
• Довільна точка простору $X$ є граничною точкою довільної неодноточкової множини.
• Кожна послідовність точок антидискретного простору збігається до будь-якої точки цього простору.
• Довільна неодноточкова множина є щільною в собі. Єдиною ніде не щільною множиною є $\varnothing$. Тому $X$ є простором другої категорії.
• $X$ є сепарабельним простором, оскільки кожна підмножина є скрізь щільною в ньому.
• $X$ задовольняє другу аксіому зліченності.
• Кожне відображення в антидискретний простір неперервне.
• $X$ є дугово зв'язним в тому й лише в тому разі, коли він незліченний.
• $X$ є лінійно зв'язним, а тому і зв'язним.
• $X$ псевдометризовний, але не метризовний.
• $X$ ультразв'язний та гіперзв'язний.
• $X$ є $T_{3}$, $T_{4}$ та $T_{5}$-простором. Якщо $X$ містить більше однієї точки, то він не є $T_{0}$-простором.

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446

Див. також

• Дискретна топологія
• Топологічний простір