Варіація функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Варіацією функції називається числова характеристика функції однієї дійсної змінної, пов'язана з її диференціальними властивостями. Для функції з відрізка на дійсній прямій в є узагальненням поняття довжини кривої.

Означення[ред.ред. код]

Нехай . Тоді варіацією (також повною варіацією або повною зміною) функції на відрізку називається наступна величина:

тобто точна верхня грань за всіма розбиттями відрізка довжин ламаних у , кінці яких відповідають значенням у точках розбиття.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації, а клас таких функцій позначається або просто .
    • У такому випадку визначена функція , що називається функцією повної варіації для .
  • Додатна варіація дійснозначної функції на відрізку називається наступна величина:
  • Аналогічно означається від'ємна варіація функції:
  • Таким чином повна варіація функції може бути представлена ​​у вигляді суми

Властивості функцій обмеженої варіації[ред.ред. код]

  • Сума і добуток функцій обмеженої варіації теж будуть мати обмежену варіацію. Частка двох функцій з буде мати обмежену варіацію (іншими словами, належати класу ), якщо модуль знаменника на відрізку буде більше, ніж позитивна стала.
  • Якщо , а , то .
  • Якщо функція неперервна в точці справа і належить , то .
  • Функція , задана на відрізку , є функцією обмеженої варіації тоді й тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючої і спадаючої на функції (розклад Жордана).
  • Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж зліченну множину точок розриву, причому всі першого роду.
  • Функція обмеженої варіації може бути представлена ​​у вигляді суми абсолютно неперервної функції, сингулярної функції та функції стрибків (розклад Лебега).

Всі ці властивості були встановлені Жорданом[1][2].

Обчислення варіації[ред.ред. код]

Варіація неперервно диференційовної функції[ред.ред. код]

Якщо функція належить до класу , тобто має неперервну похідну першого порядку на відрізку , то  — функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обраховується за формулою:

тобто рівна інтегралу норми похідної.

Історія[ред.ред. код]

Функції обмеженої варіації вивчалися К. Жорданом[1].

Спочатку клас функцій з обмеженою варіацією був введений К. Жорданом у зв'язку з узагальненням ознаки Діріхле збіжності рядів Фур'є кусково монотонних функцій. Жордан довів, що ряди Фур'є -періодичних функцій класу збігаються в кожній точці дійсної осі. Проте надалі функції обмеженої варіації знайшли широке застосування в різних областях математики, особливо в теорії інтеграла Стілтьєса.

Узагальнення[ред.ред. код]

Довжина кривої означається як природне узагальнення варіації на випадок відображень у метричний простір.

У випадку декількох змінних існує кілька різних означень варіації функції:

Φ-варіація функції[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Якщо розглядати дві функції і такі, що

то для їх -варіацій справедливе відношення:

Зокрема,

при .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций.
  • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной.
  • Бари, Н. К. Тригонометрические ряды.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
  2. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М. : Наука, 1974. — С. 234—238.