Ознака Діріхле

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.

Твердження і доведення

Нехай виконуються такі умови:

• Послідовність $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ обмежена, тобто $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$.
• $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$.
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

Тоді ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ є збіжним.

Доведення

Із збіжності $a_{n}$ до нуля маємо, що для будь-якого $\varepsilon >0$ існує $N\in \mathbb {N} ,$ що $a_{n}<\varepsilon$ виконується для всіх $n>N$. Т

Також:

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{n}B_{n}$

Оскільки $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ то також :

$\left|\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}|B_{k}|(a_{k}-a_{k+1})\leqslant M\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n})$

Відповідно ряд $\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ є абсолютно збіжним і ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на $a_{n}B_{n}$, що прямує до нуля.

Приклади застосування

• Нехай $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ є монотонною послідовністю і $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Якщо взяти $b_{i}=(-1)^{i-1}$ то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$. Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
• Якщо $a_{n}$ є монотонно спадною і $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Нехай тепер $b_{j}=\cos jx$ і $b_{j}=\sin jx$ де дійсне число $x\neq 2\pi m,\,m\in \mathbb {Z} .$ Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:

$2\sin jx\sin {1 \over 2}x=\cos \left(j-{1 \over 2}\right)x-\cos \left(j+{1 \over 2}\right)x$

$2\cos jx\sin {1 \over 2}x=\sin \left(j+{1 \over 2}\right)x-\sin \left(j-{1 \over 2}\right)x$

Таким чином:

$\sum _{j=1}^{n}\cos jx={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos {\frac {3}{2}}x+\cos {\frac {3}{2}}x-\cos {\frac {5}{2}}x+\ldots -\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}$

$\sum _{j=1}^{n}\sin jx={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin {\frac {3}{2}}x-\sin {\frac {3}{2}}x+\sin {\frac {5}{2}}x-\ldots +\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}$

Із цих формул одержується, що всі суми ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx}$ за абсолютним значенням є обмеженими числом ${\frac {1}{\left|\sin {\frac {x}{2}}\right|}}.$

Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\cos jx}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\sin jx}$ є збіжними.

Конкретними прикладами таких рядів є ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos jx}{j}}}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\sin jx}{j}}.}$ Оскільки комплексне число $z$ для якого $|z|=1$ можна записати як $z=\cos x+\sin x\cdot i$ і $z^{j}=\cos jx+\sin jx\cdot i$, то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j}}}$ для $|z|=1$ і $z\neq 1.$

Ознака Діріхле для невласного інтегралу

Нехай виконуються умови:

• $f(x)\in C[a,\;+\infty ]$ і має на $[a,\;+\infty ]$ обмежену первісну $F(x)$, тобто $\exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x>a$;
• функція $g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a$;
• $\lim _{x\to +\infty }g(x)=0$.

Тоді $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx$ існує.

• Очевидно, також можна було визначити такі умови $g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a$.
• Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .$

Проте ця умова не є необхідною:

$\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx$ — збігається.

Див. також

• Ознака Абеля
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)