Власний розклад матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У лінійній алгебрі, власний розклад або спектральний розклад — це розклад матриці в канонічну форму, таким чином ми представляємо матрицю в термінах її власних значень і власних векторів. Тільки діагоналізовні матриці можна так розкласти.

Фундаментальна теорія власних векторів і значень матриці[ред.ред. код]

Докладніше: Власний вектор

Вектор (ненульовий) v розмірності N є власним вектором квадратної (N×N) матриці A тоді і тільки тоді, коли він задовольняє лінійному рівнянню

де λ це скаляр, термін власне значення стосується v. Тобто, власні вектори це такі вектори, які лінійне перетворення A лише розтягує або скорочує і коефіцієнт розтягування/скорочення і є власним значенням.

Звідси походить рівняння для власних значень

Ми звемо p(λ) характеристичним многочленом, а рівняння називають характеристичним рівнянням, воно являє собою многочленом порядку N з невідомою λ. Це рівняння матиме Nλ відмінних розв'язків, де 1 ≤ NλN . Множину розв'язків, тобто власних значень, іноді звуть спектром A.

Ми можемо розкласти p на множники

Ціле ni називається алгебричною кратністю власного значення λi. Сума всіх алгебраїчним кратностей дорівнює N:

Для кожного власного значення, λi, ми маємо особливе рівняння

Всього буде 1 ≤ mini лінійно незалежних розв'зяків для кожного власного значення. mi розв'язків будуть власними векторами пов'язаними з власним значенням λi. Ціле mi називають геометричною кратністю λi. Важливо пам'ятати, що алгебраїчне ni і геометричне mi кратні можуть бути однаковими і різними, але завжди mini. Найпростіший випадок це коли mi = ni = 1. Загальна кількість лінійно незалежних власних векторів, Nv, можна дізнатись додавши геометричні кратності

Власні вектори можна проіндексувати по їх власним значенням, тобто із використанням подвійного індексування, з vi,j, де jй власний вектор iго власного значення. Також це можна зробити з одним індексом vk, з k = 1, 2, ..., Nv.

Власний розклад матриці[ред.ред. код]

Нехай A буде квадратною (N×N) матрицею з N лінійно незалежними власними векторами, Тоді A можна розкласти як

де Q це квадратна (N×N) матриця чиї i-ті стовпчики є власними векторами A і Λ це діагональна матриця чиї діагональні елементи є відповідними власними значеннями, тобто, . Зауважте, що тільки діагоноалізовні матриці можна розкласти таким чином. Наприклад, матрицю, що на має N (2) незалежних власних векторів не можна діагоналізувати.

Зазвичай власні вектори нормалізують, але в цьому немає потреби. Ненормалізований набір власних векторів, також можна використовувати як стовпчики для Q. Це можна зрозуміти, зауваживши, що величина власних векторів у Q зникає в розкладі завдяки присутності Q−1.

Приклад[ред.ред. код]

Якщо за приклад для декомпозиції через множення на несингулярну матрицю в діагональну матрицю взяти дійсну матрицю .

Тоді

, для деякої дійсної діагональної матриці .

Перенесемо на правий бік:

Попереднє рівняння можна рознести в систему з двох рівнянь:

Винесемо власні значення і :

Поклавши , отримаємо два векторних рівняння:

І це можна представити як одне векторне рівняння, яке має два розв'язки як власні значення:

де представляє два власних значення і , представляє вектори і .

Перенесемо ліворуч і винесемо за дужки

Через те, що несингулярна, тут важливо, що не нуль,

Розглядаючи визначник ,

Отже

Отримавши і як розв'язки власних значень для матриці , маємо в результаті діагональну матрицю власного розкладу .

Впишемо розв'язки в систему рівнянь

Розв'язавши рівняння ми маємо and

Отже матриця потрібна для власного розкладу матриці є . тобто :

Обернена матриця через власний розклад[ред.ред. код]

Докладніше: Обернена матриця

Якщо матриця A має власний розклад і якщо жодне з її власних значень не дорівнює нулю, тоді A — несингулярна, тобто моє обернену і обернена задається так

Далі більше, через те, що Λ діагональна, її обернену дуже легко обчислити:

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Власний розклад матриці(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.