Диференційовний многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений диференціальною структурою. Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові інфінітезімальні структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай Xгаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору , то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара , де — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел , що називаються координатами в карті . Множина карт називається n-вимірним -атласом многовиду X, якщо:

  • сукупність всіх покриває X,
  • для будь-яких таких, що , відображення:

є диференційовним класу ; є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти в карту

Два -атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є -атласом. Сукупність -атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються -структурами, при — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений -структурою називається -многовидом, або диференційовним многовидом класу .

Комплексні многовиди[ред.ред. код]

Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору загальніших просторів або навіть , де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку відповідна -структура, , неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.

Сумісні структури[ред.ред. код]

На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею -структура, і на -многовиді, , — -структура, якщо . Навпаки, будь-який паракомпактний -многовид, , можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що -многовид не можна наділити -структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) -неізоморфних -структур на n-вимірній сфері рівно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
θ(n) 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

Відображення[ред.ред. код]

Нехай неперервне відображення -многовидів X, Y; воно називається -морфізмом (або -відображенням, , або відображенням класу ) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт на X і на Y такої, що і відображення:

належить класу . Бієктивне відображення f таке, що воно і f-1 є -відображеннями, називається -ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх -структури називаються -ізоморфними.

Підмноговиди і вкладення[ред.ред. код]

Підпростір Y n-вимірного -многовиду X називається - підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки існують її окіл і карта -структури X такі, що і індукує гомеоморфізм V на перетин з (замкнутим) підпростором ; іншими словами, існує карта з координатами така, що визначається співвідношеннями .

Відображення називається -вкладенням якщо f(X) є -підмноговидом в Y, а -дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний -многовид допускає вкладення в і навіть в Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
  • Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
  • де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
  • Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
  • Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
  • Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
  • Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
  • Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;