Гіпотеза Крамера

Гіпотеза Крамера — теоретико-числова гіпотеза, сформульована шведським математиком Крамером в 1936 році, яка стверджує, що

$p_{n+1}-p_{n}=O(\ln ^{2}p_{n}),\$

де $p_{n}$ означає n-е просте число, а O — це O велике. Коротко кажучи, це означає, що прогалини між послідовними простими завжди маленькі. За гіпотезою, всі прості числа повинні відповідати межі

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1.$

Ця гіпотеза поки що не доведена і не спростована.

Евристичне обґрунтування

Гіпотеза Крамера ґрунтується на ймовірнісній моделі (істотно евристичній) розподілу простих чисел, в якій передбачається, що ймовірність того, що натуральне число x є простим, дорівнює приблизно ${\frac {1}{\ln x}}$. Ця модель відома як Модель простих Крамера. Крамер довів у своїй моделі, що згадана гіпотеза істинна з імовірністю 1.

Доведені результати про прогалини між простими числами

Крамер також дав умовний доказ слабшого твердження про те, що

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})$

припускаючи істинною гіпотезу Рімана.

З іншого боку, E. Westzynthius довів в 1931 році, що величина пробілів між простими більша, ніж логарифмічна. Тобто,

$\limsup _{n\to +\infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty .$

Гіпотеза Крамера-Гренвіля

Функція прогалин між простими числами

Даніель Шенкс запропонував гіпотезу про асимптотичну рівність для найбільших прогалин між простими, дещо більш сильну, ніж гіпотеза Крамера.

У ймовірнісній моделі,

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=c,$ де $c=1.$

Але константа $c$ можливо не така, як для простих, за теоремою Маєра. Ендрю Гренвіль в 1995 році стверджував, що константа $c=2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots .$, де $\gamma$ — Стала Ейлера—Маскероні.

В праці М. Вольф запропонував формулу для максимальної відстані $G(x)$ між подальшими прямими числами меншими за $x$, що виражена через функцію розподілу простих чисел $\pi (x)$:

$G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln(\pi (x))-\ln(x)+c_{0}),$

де $c_{0}=\ln(C_{2})=0.2778769...$, а $C_{2}=1.3203236...$ є константа простих-близнюків.

Томас Найслі обчислив багато найбільших прогалин між простими. Він перевірив якість гіпотези Крамера, вимірявши частку R логарифма простих до квадратного кореня розміру прогалини між простими; він писав, «Для найбільших відомих прогалин, R залишається рівним приблизно 1,13», що показує, як мінімум в діапазоні його обчислень, що гренвіллево поліпшення гіпотези Крамера бачиться як найкраще наближення для даних.

Див. також

• Теорема про розподіл простих чисел
• Проміжки між простими числами

Посилання

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.