Гіпотеза Крамера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гіпотеза Крамера — теоретико-числова гіпотеза, сформульована шведським математиком Крамером в 1936 році,[1] яка стверджує, що

де означає nпросте число, а O — це O велике. Коротко кажучи, це означає, що прогалини між послідовними простими завжди маленькі. За гіпотезою, всі прості числа повинні відповідати межі

Ця гіпотеза поки що не доведена і не спростована.

Евристичне обґрунтування[ред.ред. код]

Гіпотеза Крамера ґрунтується на ймовірнісній моделі (істотно евристичній) розподілу простих чисел, в якій передбачається, що ймовірність того, що натуральне число x є простим, дорівнює приблизно . Ця модель відома як Модель простих Крамера. Крамер довів у своїй моделі, що згадана гіпотеза істинна з імовірністю 1.[1]

Доведені результати про прогалини між простими числами[ред.ред. код]

Крамер також дав умовний доказ слабшого твердження про те, що

припускаючи істинною гіпотезу Рімана.[1]

З іншого боку, E. Westzynthius довів в 1931 році, що величина пробілів між простими більша, ніж логарифмічна. Тобто,[2]

Гіпотеза Крамера-Гренвіля[ред.ред. код]

Даніель Шенкс[en] запропонував гіпотезу про асимптотичну рівність для найбільших прогалин між простими, дещо більш сильну, ніж гіпотеза Крамера.[3]

У ймовірнісній моделі,

де

Але константа можливо не така, як для простих, за теоремою Маєра[en]. Ендрю Гренвіль в 1995 році стверджував, що константа [4], де  — Стала Ейлера—Маскероні.

В праці[5] М. Вольф запропонував формулу для максимальної відстані між подальшими прямими числами меншими за , що виражена через функцію розподілу простих чисел :

де , а є константа простих-близнюків.

Томас Найслі обчислив багато найбільших прогалин між простими.[6] Він перевірив якість гіпотези Крамера, вимірявши частку R логарифма простих до квадратного кореня розміру прогалини між простими; він писав, «Для найбільших відомих прогалин, R залишається рівним приблизно 1,13», що показує, як мінімум в діапазоні його обчислень, що гренвіллево поліпшення гіпотези Крамера бачиться як найкраще наближення для даних.

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б в Cramér, Harald (1936). On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers. Acta Arithmetica 2: 23–46. .
  2. Westzynthius, E. (1931). Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind. Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors 5: 1–37. .
  3. Shanks, Daniel (1964). On Maximal Gaps between Successive Primes. Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 18 (88): 646–651. JSTOR 2002951. doi:10.2307/2002951. .
  4. Granville, A. (1995). Harald Cramér and the distribution of prime numbers. Scandinavian Actuarial Journal 1: 12–28. .
  5. Wolf, Marek (2014). Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos. Phys. Rev. E 89: 022922. 
  6. Nicely, Thomas R. (1999). New maximal prime gaps and first occurrences. Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315. MR 1627813. doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0. .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]