Дискретне перетворення Абеля

Перетворення Абеля є дискретним аналогом інтегрування частинами і також іноді називається сумуванням частинами. Перетворення широко використовується у теорії рядів для дослідження збіжності рядів, наприклад при доведенні ознак Абеля і Діріхле.

Формула перетворення

Нехай $(a_{k}),(b_{k})$ для $(k\in \mathbb {N} )$ є послідовностями дійсних чисел і $B_{0}=0,$ а для $k\geqslant 1$ за означенням $B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}.$

Тоді для $n\geqslant m\geqslant 1$ виконується рівність:

$\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.$

Якщо $m=1$ можна простіше записати:

$\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.$

Оскільки $b_{k}=B_{k}-B_{k-1}$ то еквівалентно формулу можна записати як:

$\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.$

У цьому записі помітна аналогія із формулою інтегрування частинами:

$\int _{a}^{b}u(x)\,dv(x)={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v(x)\,du(x).$

Доведення

${\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}$

Оцінка сум добутків двох чисел

Дискретне перетворення використовується для оцінок сум виду ${\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k},}$ які використовуються для дослідження збіжностей числових рядів.

Нехай $(a_{k})$ є монотонною послідовністю. Тоді у сумі у правій частині рівності

$\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}$

всі $a_{k+1}-a_{k}$ мають один знак і тому із цієї формули випливає:

$\left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant \left|a_{n}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|-\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left|a_{k+1}-a_{k}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|=(|a_{1}|+2|a_{n}|)\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.$

Тобто остаточно:

${\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant (|a_{1}|+2|a_{n}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.$

Якщо $(a_{k})$ є спадною послідовністю додатних чисел, то простіше:

${\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant a_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.$

Див. також

• Інтегрування частинами
• Ознака Абеля
• Ознака Діріхле
• Теорема Абеля — Руффіні
• Формула сумування Абеля

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)