Інтегрування частинами

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція представлена у виді добутку двох неперервних і повних функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

  • для невизначеного інтеграла:
  • для визначеного:

Передбачається, що знаходження інтеграла простіше, ніж . У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул[ред.ред. код]

Для невизначеного інтеграла[ред.ред. код]

Функції і повні, отже, можливе диференціювання:

Ці функції також неперервні, значить можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

Після перестановок:

Для визначеного[ред.ред. код]

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

Приклади[ред.ред. код]

  • Іноді цей метод застосовується кілька разів:
  • Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:
  • У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:
У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:
Вирішивши отриману систему, одержуємо:

Див. також[ред.ред. код]