Ознака Абеля

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

У математиці ознака Абеля (також відома як критерій Абеля) є методом тестування збіжності нескінченного ряду. Ознака названа на честь математика Нільса Генріка Абеля. Існує дві трохи різні версії ознаки Абеля — одна використовується для рядів дійсних чисел, а інша — для степеневих рядів у комплексному аналізі. Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій, що залежать від параметрів.

Ознака Абеля збіжності числових рядів

Нехай виконуються такі умови:

1. $\sum b_{n}$ — збіжний ряд,
2. $\{a_{n}\}$ — монотонна послідовність,
3. $\{a_{n}\}$ — обмежена, тобто $|a_{n}|\leqslant K,$ для деякого $K>0$ і всіх натуральних $n.$

Тоді ряд $\sum a_{n}b_{n}$ також є збіжним.

Важливо розуміти, що ця ознака є доречною і корисною у сенсі неабсолютної збіжності ряду $\sum b_{n}$. Для абсолютно збіжних рядів ця теорема, хоч і справедлива, але є майже очевидною.

Доведення

Теорему можна довести безпосередньо з використанням дискретного перетворення Абеля (сумування частинами).

Згідно критерію Коші збіжності числових рядів достатньо довести, що для довільного $\varepsilon >0$ існує натуральне число $N$ для якого для всіх $n>N$ і всіх натуральних чисел $m$ виконується нерівність ${\textstyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+m}a_{k}b_{k}\right|<\varepsilon .}$

Нехай $\varepsilon >0$ — довільне додатне число. Оскільки ряд $b_{n}$ є збіжним, то згідно ознаки Коші існує натуральне число $N$ для якого для всіх $n>N$ і всіх натуральних чисел $m$ виконується нерівності:

$\left|\sum _{k=n+1}^{n+m}b_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{3K}}.$

Якщо у цьому випадку позначити ${\textstyle B_{i}=\sum _{k=n+1}^{n+i}b_{k}}$ то ${\textstyle \max B_{i}<{\frac {\varepsilon }{3K}}}$ і можна застосувати нерівність із статті Дискретне перетворення Абеля:

${\bigg |}\sum _{k=1}^{m}a_{k+n}b_{k+n}{\bigg |}\leqslant (|a_{n+1}|+2|a_{n+m}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,m}|B_{k}|<3K{\frac {\varepsilon }{3K}}=\varepsilon .$

Таким чином для $\varepsilon >0$ ряд $\sum a_{n}b_{n}$ задовольняє умову Коші для числа $N$ . Таким чином згідно критерію Коші ряд $\sum a_{n}b_{n}$ є збіжним.

Ознака Абеля в комплексному аналізі

Тісно пов'язана ознака збіжності, також відома як ознака Абеля, часто може використовуватися для встановлення збіжності степеневого ряду на межі його кола збіжності. Зокрема, ознака Абеля стверджує: якщо послідовність додатних дійсних чисел $(a_{n})$ монотонно спадає (або принаймні для всіх $n$, більших за деяке натуральне число $m$, маємо $a_{n}\geq a_{n+1}$), причому

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0,$

тоді степеневий ряд

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

є збіжним всюди на замкнутому одиничному колі, крім випадку, коли $z=1$. Ознаку Абеля не можна застосовувати для $z=1$, тому збіжність у цій окремій точці слід досліджувати окремо. Зауважимо, що з ознаки Абеля випливає, зокрема, що радіус збіжності дорівнює принаймні 1. Вона також може бути застосована до степеневого ряду з радіусом збіжності $R\neq 1$ за допомогою простої заміни змінних $\zeta =z/R$. Зауважимо, що ознака Абеля є узагальненням ознаки Лейбніца, якщо взяти $z=-1$.

Доведення ознаки Абеля: Припустимо, що точка $z$ належить одиничному колу, $z\neq 1$. Для кожного значення $n\geq 1$ визначимо

$f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.$

Помноживши цю функцію на $(1-z)$, отримаємо

${\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=\\&=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}=\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}$

Перший доданок — константа, другий доданок — рівномірно збігається до нуля (оскільки за припущенням послідовність $\{a_{n}\}$ збігається до нуля). Необхідно лише довести, що ряд збігається. Покажемо, що цей ряд є абсолютно збіжним:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k}),$

де остання сума — це збіжний телескопічний ряд. Модуль опущено, оскільки за припущенням послідовність $\{a_{n}\}$ — спадна.

Звідси, послідовність $\{(1-z)f_{n}(z)\}$ збігається (навіть рівномірно) на закритому одиничному крузі. Якщо $z\neq 1$, то можна поділити на $(1-z)$ і отримуємо результат.

Ознаки рівномірної збіжності Абеля

Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій або невласних інтегралів для функцій, що залежать від параметрів. Це пов'язано з ознакою Абеля збіжності звичайного ряду дійсних чисел, і доведення опирається на ту ж техніку дискретного перетворення Абеля.

Ознака наступна: Нехай $\{g_{n}\}$ рівномірно обмежена послідовність дійснозначних неперервних функцій на множині $E$ така, що $g_{n+1}(x)\leq g_{n}(x)$ для всіх $x\in E$ та натуральних чисел $n$, і нехай $\{f_{n}\}$ — послідовність дійснозначних функцій таких, що ряд $\sum f_{n}(x)$ рівномірно збігається на $E$. Тоді ряд $\sum f_{n}(x)g_{n}(x)$ рівномірно збігається на $E$.

Ознака Абеля збіжності невласних інтегралів

Ознака Абеля для нескінченного проміжку. Нехай функції $\ f(x)$ і $\ g(x)$ визначені на проміжку $\ [a,\infty )$. Тоді невласний інтеграл $\ \int _{a}^{\infty }{f(x)g(x)}\mathrm {d} x$ є збіжним, якщо виконуються такі умови:

1. Функція $\ f(x)$ є інтегровна на $\ [a,\infty )$.
2. Функція $\ g(x)$ обмежена і монотонна.

Див. також

• Ознака Діріхле збіжності ряду
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
• Weisstein, Eric W. Abel's uniform convergence test(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.