Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана-Больцмана - інтегральний закон випромінювання абсолютно чорного тіла, який стверджує, що енергія випромінювання з одиниці площі поверхні в одиницю часу абсолютно чорного тіла пропорційна четвертій степені ефективної температури тіла, що випромінює.

Загальний вигляд

Загальна енергія теплового випромінювання визначається як:

$F=\sigma T^{4}\,\!$,

де $F$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана—Больцмана.

Доведення закону

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом в залежності від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

$B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},$

де

• $B(\nu ,T)d\nu \,$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні в одиницю часу в одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T
• $h\,$ - стала Планка
• $c\,$ - швидкість світла
• $k\,$ - стала Больцмана.

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як $F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T)$. Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах всіх можливих значень частоти:

$F(T)=\int _{0}^{\infty }\pi B(\nu ,T)d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu ={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx,$

де виконано заміну змінної інтегрування $\nu ={\frac {kTx}{h}}$ й відповідно $d\nu ={\frac {kT}{h}}dx$.

Отриманий інтеграл є табличним й дорівнює ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$, тому:

$F(T)={\frac {2h\pi ^{5}}{15c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4},$

де $\sigma \,$ є сталою Стефана-Больцмана

Джерела

• Основні закони теплового випромінювання - Основи теплотехніки та гідравліки
• Закон Стефана Больцмана. Закон Віна. - studopedia.com.ua
• гол.ред. А. М. Прохоров. Физическая энциклопедия. — Москва : "Советская энциклопедия", 1988. — Т. 4. — С. 689-690. — ISBN 5-85270-034-7.
• Stefan, J. (1879). Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur [On the relationship between heat radiation and temperature]. Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (нім.) 79: 391–428. 
• Boltzmann, L. (1884). Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie [Derivation of Stefan's little law concerning the dependence of thermal radiation on the temperature of the electro-magnetic theory of light]. Annalen der Physik und Chemie (нім.) 258 (6): 291–294. Bibcode:1884AnP...258..291B. doi:10.1002/andp.18842580616.