Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана-Больцмана дає залежність енергії випромінювання з одиниці площі поверхні в одиницю часу від ефективної температури тіла, що випромінює.

Загальний вигляд

Загальна енергія теплового випромінювання визначається як:

$F=\sigma T^{4}\,\!$$F=\sigma T^{4}\,\!$,

де $F$$F$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}$$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана—Больцмана.

Доведення закону

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом в залежності від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

$B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},$$B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},$

де

• $B(\nu ,T)d\nu \,$$B(\nu ,T)d\nu \,$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні в одиницю часу в одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T
• $h\,$$h\,$ - стала Планка
• $c\,$$c\,$ - швидкість світла
• $k\,$$k\,$ - стала Больцмана.

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як $F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T)$$F(\nu ,T)=\pi B(\nu ,T)$. Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах всіх можливих значень частоти:

$F(T)=\int _{0}^{\infty }\pi B(\nu ,T)d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu ={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx,$$F(T)=\int _{0}^{\infty }\pi B(\nu ,T)d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu ={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx,$

де виконано заміну змінної інтеррування $\nu ={\frac {kTx}{h}}$$\nu ={\frac {kTx}{h}}$ й відповідно $d\nu ={\frac {kT}{h}}dx$$d\nu ={\frac {kT}{h}}dx$.

Отриманий інтеграл є табличним й дорівнює ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$${\frac {\pi ^{4}}{15}}$, тому:

$F(T)={\frac {2h\pi ^{5}}{15c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4},$$F(T)={\frac {2h\pi ^{5}}{15c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4},$

де $\sigma \,$$\sigma \,$ є сталою Стефана-Больцмана