Закон випромінювання Планка

Формула Планка — вираз для спектральної густини потоку випромінювання (спектральної густини енергетичної світності) абсолютно чорного тіла, виведений Максом Планком для густини енергії випромінювання $u(\omega ,T)$:

$u(\omega ,T)={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}$

Формула Планка («форма» залежності $u$ від частоти та температури) спершу була «виведена» емпірично. Формула Планка була отримана після того, як стало зрозуміло, що формула Релея—Джинса, що походить з класичної теорії електромагнітного поля, задовільно описує випромінювання тільки в області довгих хвиль. Зі спаданням довжин хвиль формула Релея—Джинса сильно розходиться з емпіричними даними. Більш того, у граниченому випадку коротких хвиль вона дає розбіжність — нескінчену енергію випромінювання (ультрафіолетова катастрофа).

У зв'язку з цим Планк у 1900 році зробив припущення що суперечить класичній фізиці про те, що електромагнітне випромінення випромінюється у вигляді окремих порцій енергії (квантів), величина яких пов'язана з частотою випромінювання виразом:

$\varepsilon =\hbar \omega$

Коефіціент пропорційності $\hbar$ згодом назвали сталою Планка, $\hbar$ = 1,054 · 10⁻²⁷ ерг·с. Це припущення дозволило пояснити спостережуваний спектр випромінювання теоретично.

Правильність формули Планка підтверджується не тільки емпіричною перевіркою, але й наслідками з даної формули, зокрема з неї походить закон Стефана-Больцмана, також підтверджений емпірично. Крім того, з неї виводяться також приблизні формули, отримані до формули Планка, — формула Віна та формула Релея-Джинса.

Вивід для абсолютно чорного тіла

Випромінювання абсолютно чорного тіла.

У наслідок лінійності рівнянь електромагнітного поля будь-який їх розв'язок може бути надано у вигляді суперпозиції монохроматичних хвиль, кожна з певною частотою $\omega$. Енергія поля може бути представлена як сума енергій відповідних польових осциляторів. Як відомо із квантової механіки, енергія осцилятора приймає дискретні значення згідно з наступної формулою:

$E_{n}=\hbar \omega (n+1/2)$

Оскільки розглядається рівноважне випромінювання, то використовуючи канонічний розподіл Ґіббса, можна визначити ймовірність стану осцилятора з заданою енергією:

$W_{n}=1/Ze^{-E_{n}/kT}$

Статистична сума $Z$дорівнює

$Z=\sum e^{-\hbar \omega (n+1/2)/kT}=e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}\sum (e^{-\hbar \omega /kT})^{n}={\frac {e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}}$

Вільна енергія дорівнює

$\Psi =-kT\ln Z={\frac {\hbar \omega }{2}}+kT\ln(1-e^{-\hbar \omega /kT})$

Для середньої (математичне очікування) енергії скористаємося рівнянням Ґіббса—Гельмгольца

${\overline {\varepsilon }}=\sum W_{n}E_{n}=\Psi -kT{\frac {\partial \Psi }{\partial (kT)}}=(kT)^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial (kT)}}=(kT)^{2}\left({\frac {\hbar \omega }{2(kT)^{2}}}+{\frac {e^{-\hbar \omega /kT}\hbar \omega /(kT)^{2}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}}\right)$

Таким чином, середня енергія, що припадає на польовий осцилятор, дорівнює

${\overline {\varepsilon }}={\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {\hbar \omega }{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}},\qquad \qquad$

(1)

де $\hbar$ — стала Планка, $k$ — стала Больцмана.

Кількість же стоячих хвиль в одиниці об'єму у тривимірному просторі в інтервалі від $(\omega ,\omega +d\omega )$ дорівнює:

$\mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad$

(2)

Отже, для спектральної щільності потужності електромагнітного випромінювання отримуємо:

$u(\omega ,T)={\overline {\varepsilon }}{\frac {\mathrm {d} n_{\omega }}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {\hbar {\omega }^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}+{\frac {\hbar {\omega }^{3}}{\pi ^{2}c^{3}(\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1)}},\qquad \qquad$

Перший доданок у цій формулі пов'язаний з енергією нульових коливань, другий являє собою формулу Планка.

Формулу Планка також можна записати через довжину хвилі:

$u_{p}(\lambda ,T)={\frac {16\pi ^{2}\hbar c}{\lambda ^{5}(\mathrm {exp} (2\pi \hbar c/\lambda kT)-1)}},\qquad \qquad$

(5)

Вивід із розподілу Бозе-Ейнштейна

Фотони є бозонами й підпорядковуються статистиці Бозе — Ейнштейна. Для цієї статистики середнє число частинок із даною енергією $\varepsilon$ дорівнює

${\overline {n}}(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\varepsilon /\Theta }-1}}$

Згідно з визначенням,

$u(\varepsilon )d\varepsilon =\varepsilon n(\varepsilon )dN(\varepsilon ),$

де $dN={\frac {\varepsilon ^{2}d\varepsilon }{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}$ — число осциляторів (в одиниці об'єму) електромагнітного поля з даною енергією у нескінченно малому околі $\varepsilon =\hbar \omega$.

Підставивши формулу середнього числа бозонів с даною енергією в цю формулу, отримаємо формулу Планка.

Перехід до формул Релея—Джинса

Формула Планка точно узгоджується з експериментальними даними у всьому інтервалі частот від 0 до $\infty$. При малих частотах, коли $\hbar \omega /kT\ll 1$ можна розкласти експоненту по $\hbar \omega /kT$. У результаті отримаємо, що $\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1\approx 1+\hbar \omega /kT-1=\hbar \omega /kT$, тоді (1) і (2) переходять в формулу Релея—Джинса.

$u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$ і

$f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}$

Перехід до закону Стефана — Больцмана

Для енергетичної світності слід записати інтеграл:

$R=\int _{0}^{\infty }f(\omega ,T)\mathrm {d} \omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}}$

Введемо змінну $x=\hbar \omega /kT$, тоді $\omega =(kT/\hbar )x$, $\mathrm {d} \omega =(kT/\hbar )\mathrm {d} x$, отримаємо

$R={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot \left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} \mathrm {x} }{\mathrm {e} ^{x}-1}}.$

Отриманий інтеграл зводиться до дзета-функції Рімана, і має точне значення $~\pi ^{4}/15$. Підставивши його, отримаємо відомий закон Стефана — Больцмана:

$R={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4}$

Підстановка чисельних значень констант дає значення для $\sigma =5,66961\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²$\cdot$ K⁴), що добре узгоджується з експериментом.

Перехід до закону зміщення Віна

Для переходу до закону Віна, необхідно продиференціювати вираз (5) по $\lambda$ та прирівняти похідну нулю (пошук екстремуму):

${\frac {\mathrm {d} u_{p}(\lambda ,T)}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}\left\{{\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-5\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]\right\}}{\lambda ^{6}\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]^{2}}}=0$.

Значення $\lambda _{m}$, при якому функція досягає максимуму, перетворює на нуль вираз, що стоїть у фігурних дужках. Означимо ${\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=x$, та отримаємо рівняння:

$~xe^{x}-5(e^{x}-1)=0$.

Розв'язок такого рівняння дає x=4,96511.Отже, ${\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=4,965$, звідси виходить:

$T\lambda _{m}={\frac {2\pi \hbar c}{4.965k}}=b$.

Чисельна підстановка констант дає значення для b=0,0028999 К·м, що збігається з експериментальним, а також зручну наближену формулу $\lambda _{\max }T\approx 3000\quad$ мкм·К. Так, сонячна поверхня має максимум інтенсивності у зеленій області (0,5 мкм), що відповідає температурі близько 6000 К.

Див. також

• Абсолютно чорне тіло
• Ультрафіолетова розбіжність

Література

• Планк М. Об одном улучшении закона излучения Вина. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр.249
• Планк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр. 251

Посилання

• Симулятор випромінювання абсолютно чорного тіла [Архівовано 21 листопада 2015 у Wayback Machine.]