Закон зміщення Віна

Закон зміщення Віна дає залежність довжини хвилі, на якій потік випромінювання енергії чорного тіла сягає свого максимуму, від температури чорного тіла.

Загальний вигляд закону зміщення Віна

У системі СІ закон має вигляд:

\lambda _{\max }={\frac {0{,}002898}{T}}

де T — температура в кельвінах, а $\lambda _{\max }$ — довжина хвилі з максимальною інтенсивністю у метрах. Коефіцієнт у даній формулі має при цьому розмірність [ м К].

Доведення закону

Для доведення можна використати вираз закону випромінювання Планка для абсолютно чорного тіла, записаного для довжин хвиль:

B(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.

Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продиференціювати по $\lambda$ й прирівняти диференціал до нуля:

{\partial B \over \partial \lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\left({hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5\right)=0

З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля коли $\lambda \rightarrow \infty$ чи коли $e^{hc/\lambda kT}\rightarrow \infty$ , що справджується при $\lambda \rightarrow 0$ . Проте, обидва ці випадки дають мінімум функції Планка $B(\lambda )$ , яка для зазначених довжин хвиль сягає свого нуля (див. малюнок угорі). Тому аналіз слід продовжити лише з третім можливим випадком коли

{hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5=0

Використовуючи заміну змінних $x={hc \over kT\lambda }$ , дане рівняння можна перетворити на

{xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.

Чисельний розв'язок цього рівняння дає ^[1]:

x=4.965114231744276\ldots

Таким чином, враховуючи заміну змінних та значення сталих Планка, Больцмана та швидкості світла, довжина хвилі, на якій інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла сягає свого максимуму, визначається як

\lambda _{\max }={hc \over x}{1 \over kT}={2.89776829\ldots \times 10^{-3} \over T}

,

де температура задана в кельвінах, а $\lambda _{\max }$ — у метрах.

Приклади

Згідно із законом зміщення Віна людське тіло з температурою 290 K (+17°C) має максимум теплового випромінювання на довжині хвилі 10 μм, що відповідає інфрачервоному діапазону випромінювання.

Реліктове випромінювання космосу має ефективну температуру 2,7 K й сягає свого максимуму на довжині хвилі 1 мм. Відповідно ця довжина хвилі належить вже до радіодіапазону.

Див. також

Примітки

↑ Рівняння ${xe^{x} \over e^{x}-1}=n$ не можливо розв'язати застосовуючи елементарні функції. Його точний розв'язок можна знайти лише за допомогою W-функції Ламберта, проте в даному випадку можна скористатися й наближеним розв'язком.

Література

B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
M. A. Heald, "Where is the 'Wien peak'?", Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.

Посилання

Випромінювання абсолютно чорного тіла на YouTube, канал НДІ астрономії ХНУ
Світ фізики Еріка Вейстейна [Архівовано 4 червня 2016 у Wayback Machine.]

[1] Рівняння ${xe^{x} \over e^{x}-1}=n$ не можливо розв'язати застосовуючи елементарні функції. Його точний розв'язок можна знайти лише за допомогою W-функції Ламберта, проте в даному випадку можна скористатися й наближеним розв'язком.

[1]