Обернена функція

Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.

Функція $f$ і обернена їй функція $f^{-1}$. Якщо $f(a)=3$, то $f^{-1}(3)=a$

Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).

Визначення

Функція $g:Y\to X$ називається оберненою до функції $f:X\to Y$, якщо виконані наступні рівності:

• $f(g(y))=y$ для всіх $y\in Y;$
• $g(f(x))=x$ для всіх $x\in X.$

Існування

Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння $y=f(x)$ щодо $x$. Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до $f$ не існує. Таким чином, функція $f(x)$ обернена на проміжку $(a;b)$тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.

Для неперервної функції $F(y)$ виразити $y$ із рівняння $x-F(y)=0$ можливо тільки в тому випадку, коли функція $F(y)$ строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, ${\sqrt {x}}$є оберненою функцією до $x^{2}$ на $[0,+\infty )$, хоча на проміжку $(-\infty ,0]$обернена функція інша: $-{\sqrt {x}}$.

Якщо композиція функцій f o g = E_Y, де E: Y→Y - тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.

Якщо справедливо і f o g = E_Yі g o f = E_X, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f^-1. Тобто f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=x.

Приклади

• Якщо $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}$, де $a>0,$ то $F^{-1}(x)=\log _{a}x.$
• Якщо $F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R}$, де $a,b\in \mathbb {R}$ фіксовані постійні і $a\neq 0$, то $F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.$
• Якщо $F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z}$, то $F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.$

Не слід плутати позначку f^-1 з позначенням степеня.

Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:

$\ f\colon x\to 3x+2$

$\ f^{-1}\colon x\to (x-2)/3$

Властивості

• Областю визначення $F^{-1}$ є множина $Y$, а областю значень множина $X$.
• При побудові маємо:

$y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)$

або

$F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y$,

$F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X$,

або коротше

$F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}$,

$F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}$,

де $\circ$ означає композицію функцій, а $\mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}$ — Тотожні відображення на $X$ і $Y$.

• Функція $F$ є оберненою до $F^{-1}$:

$\left(F^{-1}\right)^{-1}=F$.

• Нехай $F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R}$ — бієкція. Нехай $F^{-1}:Y\to X$ її обернена функція. Тоді графіки функцій $y=F(x)$ і $y=F^{-1}(x)$ симетричні відносно прямої $y=x$.

Розкладання в степеневий ряд

Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:

$F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},$

де коефіцієнти $A_{k}$ задаються рекурсивною формулою:

$A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}$

Див. також

• Функція (математика)
• Тотожна функція
• Композиція функцій
• Теорема про обернену функцію

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.