Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Обернена функція (обернене відображення ) до даної функції f — в математиці така функція g , яка в композиції з f дає тотожне відображення .
Функція
f
{\displaystyle f}
і обернена їй функція
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
. Якщо
f
(
a
)
=
3
{\displaystyle f(a)=3}
, то
f
−
1
(
3
)
=
a
{\displaystyle f^{-1}(3)=a}
Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення) .
Функція
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g:Y\to X}
називається оберненою до функції
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
, якщо виконані наступні рівності:
f
(
g
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle f(g(y))=y}
для всіх
y
∈
Y
;
{\displaystyle y\in Y;}
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
для всіх
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
щодо
x
{\displaystyle x}
. Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до
f
{\displaystyle f}
не існує. Таким чином, функція
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
обернена на проміжку
(
a
;
b
)
{\displaystyle (a;b)}
тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.
Для неперервної функції
F
(
y
)
{\displaystyle F(y)}
виразити
y
{\displaystyle y}
із рівняння
x
−
F
(
y
)
=
0
{\displaystyle x-F(y)=0}
можливо тільки в тому випадку, коли функція
F
(
y
)
{\displaystyle F(y)}
строго монотонна (див. теорема про неявну функцію ). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад,
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
є оберненою функцією до
x
2
{\displaystyle x^{2}}
на
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle [0,+\infty )}
, хоча на проміжку
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle (-\infty ,0]}
обернена функція інша:
−
x
{\displaystyle -{\sqrt {x}}}
.
Якщо композиція функцій f o g = EY , де E: Y →Y - тотожне відображення , то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.
Якщо справедливо і f o g = EY і g o f = EX , то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1 . Тобто f-1 (f(x))=f(f-1 (x))=x.
Якщо
F
:
R
→
R
+
,
F
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;F(x)=a^{x}}
, де
a
>
0
,
{\displaystyle a>0,}
то
F
−
1
(
x
)
=
log
a
x
.
{\displaystyle F^{-1}(x)=\log _{a}x.}
Якщо
F
(
x
)
=
a
x
+
b
,
x
∈
R
{\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }
, де
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
фіксовані постійні і
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
, то
F
−
1
(
x
)
=
x
−
b
a
.
{\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}
Якщо
F
(
x
)
=
x
n
,
x
≥
0
,
n
∈
Z
{\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }
, то
F
−
1
(
x
)
=
x
n
.
{\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}
Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня .
Наприклад, для функції, визначеної як f(x ) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:
f
:
x
→
3
x
+
2
{\displaystyle \ f\colon x\to 3x+2}
f
−
1
:
x
→
(
x
−
2
)
/
3
{\displaystyle \ f^{-1}\colon x\to (x-2)/3}
Областю визначення
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
є множина
Y
{\displaystyle Y}
, а областю значень множина
X
{\displaystyle X}
.
При побудові маємо:
y
=
F
(
x
)
⇔
x
=
F
−
1
(
y
)
{\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}
або
F
(
F
−
1
(
y
)
)
=
y
,
∀
y
∈
Y
{\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y}
,
F
−
1
(
F
(
x
)
)
=
x
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X}
,
або коротше
F
∘
F
−
1
=
i
d
Y
{\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}
,
F
−
1
∘
F
=
i
d
X
{\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}
,
де
∘
{\displaystyle \circ }
означає композицію функцій , а
i
d
X
,
i
d
Y
{\displaystyle \mathrm {id} _{X},\mathrm {id} _{Y}}
— Тотожні відображення на
X
{\displaystyle X}
і
Y
{\displaystyle Y}
.
Функція
F
{\displaystyle F}
є оберненою до
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
:
(
F
−
1
)
−
1
=
F
{\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}
.
Нехай
F
:
X
⊂
R
→
Y
⊂
R
{\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} }
— бієкція. Нехай
F
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle F^{-1}:Y\to X}
її обернена функція. Тоді графіки функцій
y
=
F
(
x
)
{\displaystyle y=F(x)}
і
y
=
F
−
1
(
x
)
{\displaystyle y=F^{-1}(x)}
симетричні відносно прямої
y
=
x
{\displaystyle y=x}
.
Розкладання в степеневий ряд [ ред. | ред. код ]
Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:
F
−
1
(
y
)
=
∑
k
=
0
∞
A
k
(
x
0
)
(
y
−
f
(
x
0
)
)
k
k
!
,
{\displaystyle F^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}
де коефіцієнти
A
k
{\displaystyle A_{k}}
задаються рекурсивною формулою:
A
k
(
x
)
=
{
A
0
(
x
)
=
x
A
n
+
1
(
x
)
=
A
n
′
(
x
)
F
′
(
x
)
{\displaystyle A_{k}(x)={\begin{cases}A_{0}(x)=x\\A_{n+1}(x)={\frac {A_{n}'(x)}{F'(x)}}\end{cases}}}