Лема Бореля — Кантеллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.

Перша лема[ред.ред. код]

Нехай задано ймовірнісний простір і послідовність подій . Позначимо

.

Тоді якщо ряд є збіжним, то .

Доведення[ред.ред. код]

Спершу зазначимо, що . Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

.

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга лема[ред.ред. код]

Якщо всі події сумісно незалежні, і ряд є розбіжним, то .

Доведення[ред.ред. код]

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

Зважаючи, що маємо

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при тому:

Однак виконується

звідки при отримаємо бажаний результат.

Література[ред.ред. код]