Таблиця істинності

Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

В двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» ( $~true$ або $~false$ , $~1$ або $~0$ ).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для логічних операцій

$\mathbf {A}$	Заперечення $\mathbf {\lnot A}$	Тавтологія $\top$	Протиріччя $\bot$
0	1	1	0
1	0	1	0

$\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$	Кон'юнкція, AND $A\land B$	Диз'юнкція, OR $A\lor B$	Виключна диз'юнкція, XOR $A\oplus B$	Еквівалентність, XNOR $\ A\leftrightarrow B$	Імплікація $\ A\rightarrow B$	Неімплікація $\ A\nrightarrow B$	Обернена імплікація $\ A\leftarrow B$	Обернена неімплікація $\ A\nleftarrow B$	Штрих Шефера, NAND $\ A\|B$	Стрілка Пірса, NOR $\ A\downarrow B$
0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0
альтернативне позначення		$AB$	$A+B$	$A{\underline {\lor }}B$	$A{\overline {\underline {\lor }}}B$	$A\Rightarrow B$	$A\nRightarrow B$	$A\Leftarrow B$	$A\nLeftarrow B$	$A{\overline {\land }}B$	$A{\overline {\lor }}B$
графічно

Використання

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

Логічна еквівалентність : $(A\rightarrow B)=(\lnot A\lor B)$

$A$	$B$	$\lnot A$	$\lnot A\lor B$	$A\rightarrow B$
F	F	T	T	T
F	T	T	T	T
T	F	F	F	F
T	T	F	T	T

З цієї таблиці одержуємо, що вираз $~A\to B$ є еквівалентним $~\neg A\ \lor \ B$ .

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести, що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:

{\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\lor q&\neg (p\lor q)&p\to r&\neg (p\lor q)\to (p\to r)\\\hline 1&1&1&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0&1\\1&0&1&1&0&1&1\\1&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&1\\\hline \end{array}}

Див. також

Джерела

Г. Цейтлін. Елементи теорії булевих функцій. — Київ : Техніка, 1967. — 76 с.(укр.)
Вітенько І. В. Математична логіка: Курс лекцій. — Ужгород : УжДУ, 1971. — 224 с.(укр.)
Хромой В. Я. Збірник вправ і задач з математичної логіки. — Київ : Вища школа, 1978. — 160 с.(укр.)
Дрозд Ю. А. (2004). Дискретна математика (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 70. (укр.)
Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 96. (укр.)
Weisstein, Eric W. Таблиця істинності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Таблиця істинності на PlanetMath.(англ.)
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Таблиця істинності, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4