Таблиці істинності

Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

Під «логічною функцією» (також логічною операцією) у цьому випадку розуміється функція, у котрої значення змінних (параметрів функції) і значення самої функції виражають логічну істинність.

Наприклад, в двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» ($~true$ або $~false$, $~1$ або $~0$).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для основних логічних операцій

$\mathbf {A}$	Заперечення $\mathbf {\lnot A}$	Тавтологія $\top$	Протиріччя $\bot$
0	1	1	0
1	0	1	0

$\mathbf {A}$	$\mathbf {B}$	Кон'юнкція, AND $A\land B$	Диз'юнкція, OR $A\lor B$	Виключна диз'юнкція, XOR $A\oplus B$	Еквівалентність, XNOR $\ A\leftrightarrow B$	Імплікація $\ A\rightarrow B$	Обернена імплікація $\ A\leftarrow B$	Штрих Шефера, NAND $\ A|B$	Стрілка Пірса, NOR $\ A\downarrow B$
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	1	0	0
альтернативне позначення		$AB$	$A+B$	$A{\underline {\lor }}B$	$A{\overline {\underline {\lor }}}B$			$A{\overline {\land }}B$	$A{\overline {\lor }}B$

Використання

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

Логічна еквівалентність : $(p\rightarrow q)=(\lnot p\lor q)$

$p\;$	$q\;$	$\lnot p\;$	$\lnot p\lor q\;$	$p\rightarrow q\;$
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

З цієї таблиці одержуємо, що вираз $~p\to q$ є еквівалентним $~\neg p\ \lor \ q$.

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести, що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:

${\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\lor q&\neg (p\lor q)&p\to r&\neg (p\lor q)\to (p\to r)\\\hline 1&1&1&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0&1\\1&0&1&1&0&1&1\\1&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&1\\\hline \end{array}}$

Див. також

• Математична логіка
• Алгебра логіки
• Числення висловлень
• Математичні таблиці

Джерела

• Дрозд Ю. А. (2004). Дискретна математика (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 70. (укр.)
• Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 96. (укр.)
• Weisstein, Eric W. Таблиця істинності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Таблиця істинності на PlanetMath.(англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Таблиця істинності, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4