Матриця розсіяння

Матриця розсіяння або S-матриця — оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай ${\hat {S}}$${\hat {S}}$:

$\psi (\infty )={\hat {S}}\psi (-\infty )$$\psi (\infty )={\hat {S}}\psi (-\infty )$.

де $\psi (-\infty )$$\psi (-\infty )$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а $\psi (\infty )$$\psi (\infty )$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.

S-матриця унітарна, тобто

${\hat {S}}^{\dagger }{\hat {S}}=1$${\hat {S}}^{\dagger }{\hat {S}}=1$,

де значок $^{\dagger }$$^{\dagger }$ позначає ермітове спряження.

Оператор переходу

Оператор

${\hat {\mathcal {T}}}={\hat {S}}-1$${\hat {\mathcal {T}}}={\hat {S}}-1$

називають оператором переходу.

Розклад

Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}={\hat {H}}_{0}^{\prime }+{\hat {V}}^{\prime }$${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}={\hat {H}}_{0}^{\prime }+{\hat {V}}^{\prime }$.

В цьому виразі гамільтоніан ситеми частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.

Якщо функції $\varphi _{\alpha }$$\varphi _{\alpha }$ є власними функціями оператора ${\hat {H}}_{0}$${\hat {H}}_{0}$:

${\hat {H}}_{0}\varphi _{\alpha }=E_{\alpha }\varphi _{\alpha }$${\hat {H}}_{0}\varphi _{\alpha }=E_{\alpha }\varphi _{\alpha }$,

а функції $\varphi _{\beta }$$\varphi _{\beta }$ є власними функціями оператора ${\hat {H}}_{0}^{\prime }$${\hat {H}}_{0}^{\prime }$:

${\hat {H}}_{0}^{\prime }\varphi _{\beta }=E_{\beta }\varphi _{\beta }$${\hat {H}}_{0}^{\prime }\varphi _{\beta }=E_{\beta }\varphi _{\beta }$,

то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти

$\psi (-\infty )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\varphi _{\alpha }$$\psi (-\infty )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\varphi _{\alpha }$

$\psi (\infty )=\sum _{\beta }{\tilde {c}}_{\beta }\varphi _{\beta }$$\psi (\infty )=\sum _{\beta }{\tilde {c}}_{\beta }\varphi _{\beta }$

Тоді

${\tilde {c}}_{\beta }=\sum _{\alpha }S_{\beta \alpha }c_{\alpha }$${\tilde {c}}_{\beta }=\sum _{\alpha }S_{\beta \alpha }c_{\alpha }$

Із цього виразу видно, що $S_{\beta \alpha }$$S_{\beta \alpha }$ є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.

Імовірність переходу

Імовірність переходу системи із стану $\alpha$$\alpha$ в стан $\beta$$\beta$ визначається елементом матриці переходу ${\mathcal {T}}_{\beta \alpha }$${\mathcal {T}}_{\beta \alpha }$:

$W_{\alpha \rightarrow \beta }=|{\mathcal {T}}_{\beta \alpha }|^{2}$$W_{\alpha \rightarrow \beta }=|{\mathcal {T}}_{\beta \alpha }|^{2}$

Імовірність переходу в одиницю часу

Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матрицю переходу запишемо у вигляді:

${\mathcal {T}}_{\beta \alpha }=-2\pi it_{\beta \alpha }\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })$${\mathcal {T}}_{\beta \alpha }=-2\pi it_{\beta \alpha }\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })$

Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу $W_{\alpha \rightarrow \beta }$$W_{\alpha \rightarrow \beta }$ дорівнює:

$W_{\alpha \rightarrow \beta }=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}[\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })]^{2}=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-{\frac {1}{2}}T}^{{\frac {1}{2}}T}dt\exp[{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })t]={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }T$$W_{\alpha \rightarrow \beta }=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}[\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })]^{2}=(2\pi )^{2}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-{\frac {1}{2}}T}^{{\frac {1}{2}}T}dt\exp[{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })t]={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })\lim _{T\to \infty }T$

Імовірність переходу в одиницю часу $w_{\alpha \rightarrow \beta }$$w_{\alpha \rightarrow \beta }$ одержимо, поділивши повну імовірність $W_{\alpha \rightarrow \beta }$$W_{\alpha \rightarrow \beta }$ на повний проміжок часу $T$$T$:

$w_{\alpha \rightarrow \beta }={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })$$w_{\alpha \rightarrow \beta }={\frac {2\pi }{\hbar }}|t_{\beta \alpha }|^{2}\delta (E_{\alpha }-E_{\beta })$

Історія

Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.

Див. також

• Оператор еволюції

Джерела

• Ситенко О. Г. Теорія розсіяння. — К. : Либідь, 1993. — 332 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.