Матриця розсіяння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриця розсіяння або S-матриця - оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай  \hat{S} :

 \psi(\infty) = \hat{S} \psi(-\infty) .

де  \psi (-\infty) позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а  \psi (\infty) позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.

S-матриця унітарна, тобто

 \hat{S}^\dagger \hat{S} = 1 ,

де значок  ^\dagger позначає ермітове спряження.

Оператор переходу[ред.ред. код]

Оператор

 \hat{\mathcal{T}} = \hat{S} - 1

називають оператором переходу.

Розклад[ред.ред. код]

Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді

 \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} = \hat{H}_0^\prime + \hat{V}^\prime .

В цьому виразі гамільтоніан ситеми частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.

Якщо функції  \varphi_\alpha є власними функціями оператора  \hat{H}_0 :

 \hat{H}_0 \varphi_\alpha = E_\alpha  \varphi_\alpha ,

а функції  \varphi_\beta є власними функціями оператора  \hat{H}_0^\prime :

 \hat{H}_0^\prime \varphi_\beta = E_\beta  \varphi_\beta ,

то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти

 \psi(-\infty) = \sum_\alpha c_\alpha \varphi_\alpha
 \psi(\infty) = \sum_\beta \tilde{c}_\beta \varphi_\beta

Тоді

 \tilde{c}_\beta = \sum_\alpha S_{\beta\alpha} c_\alpha

Із цього виразу видно, що  S_{\beta\alpha} є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.

Імовірність переходу[ред.ред. код]

Імовірність переходу системи із стану \alpha в стан \beta визначається елементом матриці переходу  \mathcal{T}_{\beta\alpha} :

 W_{\alpha \rightarrow \beta} = |\mathcal{T}_{\beta\alpha}|^2

Імовірність переходу в одиницю часу[ред.ред. код]

Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матрицю переходу запишемо у вигляді:

 \mathcal{T}_{\beta\alpha} = -2 \pi i t_{\beta\alpha} \delta(E_{\alpha}-E_{\beta})

Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу  W_{\alpha \rightarrow \beta} дорівнює:

 W_{\alpha \rightarrow \beta} = (2 \pi)^2 |t_{\beta\alpha}|^2 [\delta(E_{\alpha}-E_{\beta})]^2 = (2 \pi)^2 |t_{\beta\alpha}|^2 \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\frac{1}{2}T}^{\frac{1}{2}T} dt \exp[\frac{i}{\hbar}(E_{\alpha}-E_{\beta})t] = \frac{2 \pi}{\hbar} |t_{\beta\alpha}|^2 \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) \lim_{T \to \infty} T

Імовірність переходу в одиницю часу  w_{\alpha \rightarrow \beta} одержимо, поділивши повну імовірність  W_{\alpha \rightarrow \beta} на повний проміжок часу T:

 w_{\alpha \rightarrow \beta} = \frac{2 \pi}{\hbar} |t_{\beta\alpha}|^2 \delta(E_{\alpha}-E_{\beta})

Історія[ред.ред. код]

Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]



Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.