Метод невизначених множників

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Знайти x і y, що максимізують f(x, y) за умови, що g(x, y) = c (показана червоним).

Метод невизначених множників або метод невизначених множників Лагранжа - метод знаходження умовного локального екстремуму, запропонований італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем. Метод дозволяє звести задачу на відшукання умовного екстремуму до задачі на знаходження безумовного екстремуму.

Задача[ред.ред. код]

Нехай потрібно знайти екстремум функції n змінних при s умовах

, де .

Опис методу[ред.ред. код]

Вводячи s невизначених множників Лагранжа , побудуємо функцію Лагранжа

.

Задача знаходження умовного оптимуму зводиться до розв'язування системи n+s рівнянь із n+s змінними:

,
.

Використання[ред.ред. код]

Метод невизначених множників Лагранжа широко використовується в математичній і теоретичній фізиці. За допомогою цього методу отримані рівняння Лагранжа першого роду, які дозволяють формально ввести сили реакції в фізичні задачі із в'язями. Невизначені множники Лагранжа використовує також варіаційний метод в квантовій механіці.

Приклад[ред.ред. код]

Задача[ред.ред. код]

Знайти прямокутник із найбільшою площею при заданому периметрі p.

Розв'язок[ред.ред. код]

Позначимо сторони прямокутника x та y. Потрібно знайти максимум функції

при умові

.

Вводимо множник Лагранжа і шукаємо безумовний екстремум функції

Беручи похідні отримуємо систему рівнянь

Підставляючи значення та в останнє рівняння, отримуємо

.

Отже, найбільшу площу серед прямокутників із заданим периметром має квадрат.

Див. також[ред.ред. код]