Нормована алгебра з діленням

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нормована алгебра з діленням — це така алгебра з діленням \ \mathcal{A} над полем дійсних чи комплексних чисел яка одночасно є нормованим векторним простором з нормою || · ||, що задовільняє наступну умову:

\|xy\| = \|x\| \|y\| \quad \forall  x,y \in \mathcal{A}.

Теорема Гурвіца показує що таких алгебр (з точністю до ізоморфізма) існує тільки 4, а саме:

Норма в цих випадках збігається з модулем числа. Перші три алгебри є асоціативними, а четверта лише альтернативною.

Єдиною нормованою алгеброю з діленням над полем комплексних чисел є самі комплексні числа.

Композитні алгебри[ред.ред. код]

Нормовані алгебри з діленням є частковим випадком композитних алгебр. Які є алгебрами з одиницею та з мультиплікативною квадратичною формою.

Композитна алгебра не завжди є алгеброю з діленням, вона може мати дільники нуля.

Над полем дійсних чисел композитними алгебрами є також:

Дивись також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.