Теорема Гурвіца про композитні алгебри

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Гурвіца про композитні алгебри — теорема, що описує основні нормовані алгебри (не плутати з нормованими (банаховими) алгебрами що в функціональному аналізі).

Ця теорема сформульована німецьким математиком Адольфом Гурвіцем в 1898 році.[1].


Визначення нормованої алгебри[ред.ред. код]

Алгебра називається нормованою, якщо в ній можна ввести скалярний добуток з властивістю:

Оскільки ввівши норму отримаємо

Формулювання теореми[ред.ред. код]

  • Довільна нормована алгебра має властивість альтернативності:

Доведення[ред.ред. код]

Лема 1[ред.ред. код]

В довільній нормованій алгебрі справедлива тотожність

Лема 2[ред.ред. код]

В довільній нормованій алгебрі з одиницею справедлива тотожність

Наслідком леми є формула

Доведення теореми[ред.ред. код]

Позначимо одиницю алгебри через

Кожен елемент можна представити єдиним чином у вигляді де

Введемо в алгебрі операцію спряження таким чином


Нехай  — деяка підалгебра, що містить і не збігається з

Тоді існує одиничний вектор , що ортогональний до

Покажемо що елементи виду

також утворюють підалгебру в Позначимо її

Для цього доведемо:

  • Представлення довільного елемента з у вигляді (*) можливе єдиним чином.
Доведення використовує Лему 1.
  • Множення елементів виду (*) задовільняє формулу яка збігається з процедурою подвоєння Келі-Діксона.
Спочатку за допомогою наслідку Леми 2 доведемо формули:
З яких легко отримати дану формулу.

Довільна підалгебра що містить і не збігається з є асоціативною.

Доведення використовує наслідок Леми 2.

Отже, оскільки алгебра містить одиницю, то в неї є підалгебра з елементів виду що ізоморфна алгебрі дійсних чисел .

Якщо не збігається з алгеброю то розглянемо підалгебру що ізоморфна алгебрі комплексних чисел.

Якщо не збігається з алгеброю то розглянемо підалгебру що ізоморфна алгебрі кватерніонів.

Якщо не збігається з алгеброю то розглянемо підалгебру що ізоморфна алгебрі октав.

Алгебра вже повинна збігатися з алгеброю , оскільки вона вже не є асоціативною.

Примітки[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, «Наука». — 1973.