Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера — лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку виду
де — стала Планка, — маса частинки, — потенціальна енергія, — повна енергія, — хвильова функція. Для повної постановки задачі про знаходження рішення треба задати також граничні умови, які представляються в загальному вигляді для інтервалу
де — константи. Квантова механіка розглядає рішення рівняння , з граничними умовами та .
Виходячи з фізичного змісту хвильова функція має бути однозначною та неперервною функцією своїх координат. Умова нормування з'являється з інтерпретації квадрата хвильової функції як імовірності.
Звідси випливає, зокрема, що хвильова функція має досить швидко спадати з віддаленням від початку відліку. В одновимірному випадку, якщо хвильова функція при , то показник ступеня відповідно до вираження
задовольняти нерівності
Інтегрування рівняння в малій околиці точки a дає додаткові умови на похідну
хвильової функції
з якого в межі виходить
якщо потенційна енергія має в точці a розриви першого роду (кінцеві стрибки). Якщо ж в точці a є Розрив другого роду, наприклад, потенційна енергія описується дельта-функцією (), то умова
набирає вигляду
Якщо енергетичний спектр невироджений, то існує тільки одна хвильова функція, що є рішенням рівняння Шредінгера для даної енергії, причому вона визначена з точністю до фази. У разі, коли потенціал симетричний, то хвильові функції будуть або парними, або непарними і парність хвильових функцій чергується.
У загальному вигляді рішення рівняння , з граничними умовами і не існує, але при деякому виборі потенційної енергії можна знайти точні рішення. Вони грають важливу роль в побудові аналітичних наближених рішень рівняння .
Рішення для вільної частинки — плоскі хвилі
[ред. | ред. код]
У вільному просторі, де відсутні потенціали рівняння приймає особливо простий вигляд
Для цього рівняння рішенням є суперпозиція плоских хвиль
Тут енергія може приймати всі значення вище нуля, тому говорять, що власне значення належить безперервному спектру. Константи та визначаються з умови перенормування.
Рішення для частинки в одновимірній потенційній ямі з нескінченно високими стінками
[ред. | ред. код]
Якщо помістити частку в потенційну яму, то безперервний спектр енергій стає дискретним. Для рівняння з потенційною енергією , яка дорівнює нулю в інтервалі і стає нескінченною в точках та . На цьому інтервалі Рівняння Шредінгера збігається з . Граничні умови , для хвильової функції запишуться у вигляді
Шукаємо рішення у вигляді . З урахуванням граничних умов одержуємо для власних значень енергії
і власних функцій з урахуванням нормування
Більш-менш складний потенціал у рівнянні вже не дозволяє знайти аналітичний розв'язок у загальному випадку (хоча для окремих випадків такий розв'язок знайдено, наприклад, для задачі двох тіл), тому для розв'язку рівняння Шредінгера застосовують чисельні методи.
Одним з найпростіших є метод скінченних різниць, в якому рівняння замінюється рівнянням в кінцевих різницях на обраній сітці з вузлами в точках , а саме, замінюючи другу похідну за формулою
де — Крок дискретизації, — номер вузла сітки, отримаємо
де — значення потенційної енергії на вузлах сітки. Нехай деякий характерний масштаб потенціалу, тоді рівняння можна записати в безрозмірному вигляді
Якщо позначити безрозмірні величини потенційної енергії і власні значення
, то рівняння спроститься
Під останнім виразом треба розуміти систему рівнянь для всіх можливих індексів .
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
- Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
- Калиткин. Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.