Радіан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
похідна одиниця SI[1]
одиниця вимірювання кутаd
dimensionless unitd[2]
похідна одиниця SI, що має власну назвуd
безпрефіксна одиниця SId[3] і основна одиниця UCUMd
Радіан
Circle radians.gif
Кут 1 радіан відтинає дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола
Загальна інформація
Система одиниць Похідні одиниці SI
Одиниця кута
Символ рад або rad
Розмірність безрозмірнісна, як відношення довжини дуги до радіуса 1 мм
Перерахунок в інші системи
1 рад в... дорівнює...
   мілірадіанах    1000 мрад
   обертах    12π оберта
   градусах    180π ≈ 57.296°
   градах    200π ≈ 63.662 гон

CMNS: Радіан у Вікісховищі

Радіа́нматематиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів в Міжнародній системі одиниць SІ.

Один радіан — це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними дорівнює радіусу кола. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad)[4], але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.

Пояснення[ред. | ред. код]

Повна довжина кола дорівнює r, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

 рад ,
1 рад (або ) = .
 рад,
 рад  рад.

Властивості[ред. | ред. код]

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:

Розмірність[ред. | ред. код]

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м−1 (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x3/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірнісним.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. 6.5.3 // Quantities and units—Part 1: General — 1 — ISO, 2009. — P. 18. — 41 p.
  2. Phillips W. D. Dimensionless units in the SI // MetrologiaIOP Publishing, 2014. — Vol. 52. — P. 40–47. — ISSN 0026-1394; 1681-7575doi:10.1088/0026-1394/52/1/40arXiv:1409.2794
  3. The International System of Units, Le Système international d’unités — 9 — BIPM, 2019. — ISBN 978-92-822-2272-0
  4. Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914. Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.

Джерела[ред. | ред. код]

  • Алєксєєв, В. М. Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В. М. Алєксєєв, Р. П. Ушаков;за ред. М. Й. Ядренка. — К. : Вища школа, 1992. — 494 с. — ISBN 5-11-000094-1
  • Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В. В. Семенець, М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарев та ін. — Харків : СМІТ, 2002. — 1120с. — ISBN 966-7714-88-8. — ISBN 966-95983-1-1

Посилання[ред. | ред. код]