Параметричне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклад кривої, визначеної параметричними рівняннями крива метелик.

Параметричні рівняння — метод представлення математичних функцій через параметри. Простий кінематичний приклад, коли час використовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.

Параметричне представлення функції[ред.ред. код]

Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули

  

задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.

Якщо припустити, що обидві ці функції і мають похідні і для існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд[1]:

і похідна функції може бути обрахована як

2D-приклади[ред.ред. код]

Парабола[ред.ред. код]

Тривіальний приклад, рівняння параболи:

може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином

Коло[ред.ред. код]

Для кола радіуса a:

3D-приклади[ред.ред. код]

Гвинтова лінія[ред.ред. код]

Параметризована гвинтова лінія

Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:

описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.

Подібні вирази також записуються як

Корисність[ред.ред. код]

Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:

і прискорення:

Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись параметрична поверхня.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Г. М. Фіхтенгольц. «Курс диференціального та інтегрального числення». Том I. Москва 1969 г. Стор. 218