Параметричне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклад кривої визначеної параметричними рівняннями крива метелик.

В математиці, параметричні рівняння метод представлення функції через параметри. Простий кінематичний приклад коли час викристовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.

Параметричне представлення функції[ред.ред. код]

Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули

x=\varphi(t)~;~  ~y=\psi(t)

задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.

Якщо припустити, що обидві ці функції \varphi і \psi мають похідні і для \varphi існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд[1]:

~y=\psi(\theta(x))=f(x)

і похідна функції може бути обрахована як

y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}

2D Приклади[ред.ред. код]

Парабола[ред.ред. код]

Тривіальний приклад, рівняння параболи:

y = x^2\,

може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином

x = t\,
y = t^2.\,

Коло[ред.ред. код]

Для кола радіуса a:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t).\,

3D приклади[ред.ред. код]

Гвинтова лінія[ред.ред. код]

Параметризована гвинтова лінія

Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,
z = bt\,

описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.

Подібні вирази також записуються як

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t).\,

Корисність[ред.ред. код]

Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:

v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,

і прискорення:

a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,

Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись параметрична поверхня.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Г. М. Фіхтенгольц. «Курс диференціального та інтегрального числення». Том I. Москва 1969 г. Стор. 218