Поле розкладу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі поле розкладу многочлена p над полем — найменше розширення поля, над яким розкладається в добуток лінійних множників:

При цьому тому поле розкладу також називається розширенням, одержаним приєднанням до всіх коренів даного многочлена.

Аналогічно вводиться поняття поля розкладу сім'ї многочленів — розширення L, для якого кожен pi розкладається в L[x] на лінійні множники і L породжується над K всіма коренями pi. Поле розкладу скінченної множини многочленів p1,p2...pn, буде, очевидно, полем розкладу їх добутку p=p1p2...pn Розширення поля, що є полем розкладу деякої сім'ї многочленів називається нормальним розширенням.

Властивості[ред.ред. код]

  • Поле розкладу скінченної сім'ї многочленів є скінченним алгебраїчним розширенням поля .
  • Поле розкладу многочлена існує для будь-якого сімейства многочлена pi і визначене однозначно з точністю до ізоморфізму, тотожного на K.
  • Для поля характеристики 0, поле розкладу многочлена завжди містить первісний корінь степені з одиниці.
  • Мінімальний многочлен довільного елемента поля розкладу в цьому полі теж розкладається на лінійні множники.

Приклади[ред.ред. код]

Побудова поля розкладу[ред.ред. код]

Нехай — поле і p(x) многочлен над степеня n. Загалом процедура побудови поля розкладу многочлена p(x) полягає в побудові послідовності полів , де є розширенням , що містить один новий корінь p(x). Оскільки p(x) має щонайбільше n різних коренів, побудова вимагає щонайбільше n розширень. Розширення можна побудувати за допомогою наступних кроків:

  • Многочлен p(x) розкладається в добуток многочленів незвідних над .
  • Нехай — деякий з незвідних множників з попереднього пункту.
  • Розширення поля визначається як фактор-кільце де (f(x)) — ідеал в кільці породжений f(x).
  • Процедура побудови продовжується доки не одержується поле в якому p(x) розкладається на лінійні множники.

Незвідні многочлени можуть обиратися в довільному порядку. Одержані поля розкладу при цьому будуть ізоморфними.

Оскільки f(x) є незвідним (f(x)) є максимальним ідеалом і тому — поле. Якщо є проекцією кільця на фактор кільце, то отже є коренем f(x) і також p(x).

Розмірність розширення [] рівна степеню відповідного многочлена f(x). Розмірність розширення [L : K] рівна і не перевищує n!.

Література[ред.ред. код]