Проблема Гурвіца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проблема Гурвіца — проблема в математиці (названа на честь Адольфа Гурвіца), пов'язана зі знаходженнам мультиплікативних відношень між квадратичними формами.

Існує рівність розмірності 2 (тотожність Брамагупти)

Ще існують тотожність чотирьох квадратів, тотожність восьми квадратів.

Їх можна використовувати для правила множення норм комплексних числе , кватерніонів (), октоніонів () відповідно.

.

Проблема Гурвіца: для поля K знайти загальне відношення у формі

де z — білінійна форма від x та y.

Якщо така тотожність існує, трійки називають допустимими для K,. Тривіальними допустимими є трійки Проблема є не цікавою коли K має характеристику 2, оскільки над такими полями сума двох квадратів є квадратом.

Теорема Гурвіца — Радона

[ред. | ред. код]

1898 року Гурвіц сформулював проблему для випадку і показав, що для поля , допустимими є лише де Його доведення можна розширити для довільного поля з характеристикою, відмінною від  2.

Проблема Гурвіца — Радона полягає у знаходженні трійок виду Очевидно, є допустимими. Теорема стверджує, що допустимими є , де визначена для v непарне, із та

Іншими допустимими трійками є

Див. також

[ред. | ред. код]