Проблема Гурвіца — проблема в математиці (названа на честь Адольфа Гурвіца), пов'язана зі знаходженнам мультиплікативних відношень між квадратичними формами.
Існує рівність розмірності 2 (тотожність Брамагупти)
![{\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d246e2adaf2e73d653d4a9be39e3f93e45fc6c)
Ще існують тотожність чотирьох квадратів, тотожність восьми квадратів.
Їх можна використовувати для правила множення норм комплексних числе
, кватерніонів (
), октоніонів (
) відповідно.
.
Проблема Гурвіца: для поля K знайти загальне відношення у формі
![{\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92dc05d8422ca598f5a0dce8ecacc3c12d7add64)
де z — білінійна форма від x та y.
Якщо така тотожність існує, трійки
називають допустимими для K,. Тривіальними допустимими є трійки
Проблема є не цікавою коли K має характеристику 2, оскільки над такими полями сума двох квадратів є квадратом.
1898 року Гурвіц сформулював проблему для випадку
і показав, що для поля
, допустимими є лише
де
Його доведення можна розширити для довільного поля з характеристикою, відмінною від 2.
Проблема Гурвіца — Радона полягає у знаходженні трійок виду
Очевидно,
є допустимими. Теорема стверджує, що допустимими є
, де
визначена для
v непарне,
із
та
Іншими допустимими трійками є