Проективне перетворення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проективне перетворення проективної площини — це перетворення[en], що переводить прямі в прямі.

Визначення[ред. | ред. код]

Проективне перетворення — це взаємно-однозначне відображення проективного простору на себе, яке зберігає відношення порядку частково впорядкованої множини всіх підпросторів.

Проективне перетворення прямої — бієктивне перетворення прямої, що переводить гармонійну четвірку точок в гармонійну четвірку точок.

Проективне перетворення площини — це взаємно-однозначне відображення проективної площини на себе, при якому для будь-якої прямої образ також є прямою.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Проективне перетворення зберігає подвійне відношення.
  • Проективне перетворення є взаємно однозначним відображенням множини точок проективної площини, а також є взаємно однозначним відображенням множини прямих.
  • Відображення, зворотне проективному, є проективним відображенням. Композиція проективних відображень є проективним відображенням. Таким чином, множина проективних відображень утворює групу.
  • Центральне проектування — частковий випадок проективного перетворення.
  • Афінне перетворення є частковим випадком проективного.
  • Кожна пряма площини при проективному перетворенні площини відображається проективно на деяку пряму. Кожен пучок променів площини проективно відображається на пучок променів.
  • Проективне перетворення прямої визначається заданням трьох пар відповідних за відображенням точок. Це твердження називають іноді основною теоремою проективної геометрії.
  • Проективне перетворення площини визначається заданням чотирьох пар відповідних за відображенням точок, причому ніякі три точки з четвірки образів або прообразів не лежать на одній прямій. При нетотожному відображенні кількість нерухомих точок не більша трьох.
  • Кожне проективне перетворення площини задається оборотним лінійним перетворенням відповідного їй тривимірного простору. В однорідних координатах воно подається рівняннями:

причому .

Перспектива[ред. | ред. код]

Перспективне відображення

Нехай на проективній площині є 2 різні прямі і точка O, що не належить їм. Перспективним відображенням[en] прямої на пряму з центром O називається відображення , де для довільної точки точка знаходиться як перетин і . Це відображення позначається так: що читається « переводиться в пряму перспективним відображенням з центром O» або так: що читається «точки переводяться перспективним відображенням з центром в O в точки ».

Перспективне відображення бієктивне, зберігає точку перетину прямих і зберігає подвійне відношення четвірки точок.

Будь-яке проективне відображення прямої на пряму може бути подане як композиція перспективних відображень. Проективне відображення позначається

Інволюція[ред. | ред. код]

Проективне перетворення називається інволюцією, якщо для будь-якої точки P правильно, що .

Якщо  — інволюція, то .

Якщо проективне перетворення прямої має хоча б одну таку точку P, що , то  — інволюція.

Якщо нетотожна інволюція проективної прямої має нерухомі точки, то їх кількість дорівнює або двом, або нулю. Інволюція, що має 2 нерухомі точки, називається гіперболічною. Гіперболічна інволюція переставляє місцями точки, гармонійно спряжені відносно нерухомих точок. Інволюція, яка не має нерухомих точок, називається еліптичною.

Інволюція визначається заданням двох пар відповідних точок.

Три пари протилежних сторін повного чотирикутника[ru] перетинають будь-яку пряму (що не проходить через вершину) в трьох парах точок однієї інволюції (це твердження називають теоремою Дезарга, хоча її походження можна віднести до леми IV «Поризмів» Евкліда в VII томі «Математичної колекції» Паппа Александрійського).

Колінеації і кореляції[ред. | ред. код]

Колінеацією називається перетворення, що переводить точки в точки, прямі в прямі і зберігає відношення інцидентності точок і прямих, а також подвійне відношення будь-якої четвірки колінеарних точок. Колінеації утворюють групу. Вимога збереження подвійного відношення четвірки колінеарних точок надлишкова, але це складно довести. Колінеації розглядають разом з кореляціями — перетвореннями проективної площини, що переводять точки в прямі, а прямі в точки і зберігають відношення інцидентності. Приклад кореляції — полярна відповідність, тобто відображення, що переводить точку в її поляру відносно конічного перерізу, а пряму — в її полюс.

Гомологія[ред. | ред. код]

Гомологією називається нетотожна колінеація, для якої існує поточково нерухома пряма p, яка називається віссю гомології.

Для будь-якої гомології існує нерухома точка P (центр гомології), що володіє тією властивістю, що будь-яка інцидентна їй пряма нерухома. Крім центру P і точок осі p гомологія нерухомих точок не має. Якщо , то гомологія називається параболічною, інакше — гіперболічною.

При гомології площини точка і її образ лежать на одній прямій з центром гомології, а пряма і її образ перетинаються на осі гомології.

Гомологію можна задати центром, віссю і парою відповідних прямих. Гомологію можна також задати центром, віссю і т. зв. константою гомології, відмінною від .

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]