Процедура Келі-Діксона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.

Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.

Кватерніони[ред.ред. код]

Довільний кватерніон можна представити у вигляді

або

де комплексні числа, оскільки виконується як для комплексних чисел так і для кватерніонів.

Позначимо ще один кватерніон як

Перемноживши кватерніони, отримаємо:

— дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.

Оскільки

то переставимо множники і отримаємо:

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду , що задовільняють вищенаведену формулу множення.

Дана формула цікава ще й тим, що вона збігається з формулою множення комплексних чисел.

Загальний випадок[ред.ред. код]

Якщо для деяких чисел та існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як

то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел :

  • — закон множення пар,
  • — спряжена пара.

Властивості[ред.ред. код]

  • Норма впорядкованої пари:
— рівна нулю тільки при a=b=0.
  • Ділення визначається як чи — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
  • Якщо для чисел виконується то це виконується і для впорядкованих пар:

Узагальненя Шафера[ред.ред. код]

Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).

Джерела[ред.ред. код]

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.