Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.
Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.
Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.
Довільний кватерніон
можна представити у вигляді
або
де
— комплексні числа.
Позначимо ще один кватерніон як
![{\displaystyle \ r=w_{1}+w_{2}j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e689f44d86ce44b7793db0b969963f7109dcc7)
Перемноживши кватерніони, отримаємо:
— дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.
Оскільки
то переставимо множники і отримаємо:
![{\displaystyle \ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a31cdde7fe37d50348e82a5ab36bbed428b9d4)
Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду
, що задовільняють формулу множення, що збігається з формулою множення комплексних чисел.
Якщо для деяких чисел
та
існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як
то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел
:
— закон множення пар,
— спряжена пара.
- Норма впорядкованої пари:
— рівна нулю тільки при a=b=0.
- Ділення
визначається як
чи
— отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
- Якщо для чисел виконується
то це виконується і для впорядкованих пар:
![{\displaystyle \ {\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9515c371e1eefa50b770caec9dd5bce84e0949)
![{\displaystyle \ |rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c41b29ad65438a9880404b8cd47f4c0feda4c5)
Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).