Ділення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ді́лення (також діління́)— в математиці одна із чотирьох базових арифметичних операцій, де іншими є додавання, віднімання, і множення. Ділення натуральних чисел це процес розрахунку кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі.[1]:7 Наприклад, на малюнку праворуч, 20 яблук розділені на чотири групи по п'ять яблук, ще означає, що двадцять розділене на п'ять дорівнює чотири, або чотири є результатом ділення двадцяти на п'ять. Це позначається як 20 / 5 = 4, 20 ÷ 5 = 4, або 205 = 4.[2]

Діленням має два операнди:

  • ділене — число (чи математичний об'єкт), який ділять;
  • дільник — число (чи математичний об'єкт) на який ділять.

Результат ділення називається часткою.

При діленні потрібно знайти таку частку , яка при множенні на дільник дала б ділене .

Ділення чисел позначають:

  • двокрапкою
  • знаком
  • косою рискою
  • або дробом в чисельнику якого записують ділене, а в знаменник — дільник.

Ділення — бінарна операція, що обернена множенню; якщо a × b = c, тоді a = c ÷ b, за умови що b не є нулем. Ділення на нуль для дійсних чисел і в більшості інших випадків є невизначеним,[3]:246 оскільки, якщо b = 0, тоді a не можна отримати із b і c, оскільки тоді c завжди дорівнюватиме нулю не залежно від a.

Розрахунок[ред. | ред. код]

Методи ділення вручну[ред. | ред. код]

Ділення як правило пояснюють як процедуру розділення множини об'єктів, наприклад яблук, на деяку задану кількість частин. Розділення об'єктів по одному повторюючи процедуру по колу призводить до методу «віднімання часток[en]», тобто, ділення виконується за допомогою повторюваних кроків віднімання.

Більш систематично і ефективно, але в той же час більш формалізовано і основане на правилах, людина, яка знає таблицю множення може поділити два цілих числа за допомогою розрахунків на папері використовуючи метод короткого ділення[en], якщо дільник є простим числом. Для більших значень дільників застосовують процедуру ділення стовпчиком. Якщо частка має дробову частину (заданою у вигляді десяткового дробу), алгоритм ділення можна продовжити і розрахувати необхідну кількість значень після коми. Якщо дільник має дробову частину, для виконання розрахунку можна перемістити знак коми праворуч, так що дільник стане цілим числом і виконати розрахунок як для цілих чисел.

Ділення можна розрахувати за допомогою рахівниці перемістивши необхідне число декілька разів, а потім підрахувати кількість зсувів в результаті.

Для ділення двох чисел можна застосувати логарифмічні таблиці, віднявши логарифми двох чисел, а потім знайшовши логарифм результату віднімання.

За допомогою комп'ютера[ред. | ред. код]

Сучасні комп'ютери розраховують операцію ділення за допомогою методів, що є швидшими ніж метод довгого ділення. Наприклад, Ділення із залишком, див. алгоритми ділення[en].

У модульній арифметиці (модуль простого числа) і для дійсних чисел, ненульові числа мають обернене за модулем число. В таких випадках, ділення на число x можна розрахувати як добуток на обернене число x. Цей підхід як правило є самим ефективним.

Властивості[ред. | ред. код]

Ділення є дистрибутивною справа для операцій додавання і віднімання. Це означає:

так само як і при множенні . Але ділення не є дистрибутивним зліва, тобто

на відміну від множення.

Якщо виконується декілька операцій ділення, вони виконуються в порядку як вони записані в рядок зліва направо[4][5], це називається асоціативністю зліва:

.

Обернений елемент[ред. | ред. код]

Результати обчислення
Додавання (+)
1-й доданок + 2-й доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
1-й множник × 2-й множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореня підкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм

Ділення еквівалентне множенню на обернений елемент:

Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.

Ліве та праве ділення[ред. | ред. код]

Операція множення для складних математичних об'єктів не завжди є комутативною, тому, рівняння та можуть мати різні розв'язки.

У зв'язку з цим використовуються терміни правого та лівого ділення згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:

Ділення раціональних чисел[ред. | ред. код]

Очевидно, що результат ділення цілого числа на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є раціональні числа.

Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:

Ділення дійсних чисел[ред. | ред. код]

Ділення двох дійсних чисел дає в результаті інше дійсне число, коли дільник не 0. Воно буде визначене наступним чином a/b = c тоді і лише тоді, коли a = cb і b ≠ 0.

Ділення на нуль[ред. | ред. код]

Докладніше: Ділення на нуль

Ділення будь-якого числа на нуль (коли дільник дорівнює нулю) є невизначеним. Це тому, що множення будь-якого скінченного числа на нуль завжди в результаті дає нуль. Якщо ввести такий вираз у калькулятор, більшість з них напише повідомлення про помилку.

Ділення комплексних чисел[ред. | ред. код]

Для того, щоб поділити комплексне число на комплексне число потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника

Ділення матриць[ред. | ред. код]

Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю обернену до дільника. А оскільки множення матриць не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення. Якщо дільник є виродженою матрицею (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання псевдооберненої матриці.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Blake, A. G. (1887). Arithmetic. Dublin, Ireland: Alexander Thom & Company. 
  2. Weisstein, Eric W. Division(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. Derbyshire, John (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York City: Penguin Books. ISBN 978-0452285255. 
  4. George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
  5. Education Place: The Order of Operations

Джерела[ред. | ред. код]

  • Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953;