Теорема Лі

Теорема Лі — твердження в теорії алгебр Лі про властивості розв'язних алгебр Лі ендоморфізмів скінченновимірного векторного простору.

Твердження

Нехай L — розв'язна підалгебра Лі в ${\mathfrak {gl}}(V)$, де простір V є скінченновимірним над алгебрично замкнутим полем характеристики 0 і не рівний нульовому простору. Тоді V містить спільний власний вектор для всіх ендоморфізмів з L. Як наслідок в деякому базисі простору матриці елементів з L є верхніми трикутними (чи, еквівалентно, L відображає в себе деякий повний прапор підпросторів V).

Доведення

Застосуємо індукцію по розмірності L. Випадок $\operatorname {dim} L=0$ є тривіальним.

Оскільки підалгебра L є розв'язною і її розмірність є додатною, L строго включає [L, L]. Алгебра L/[L, L] є комутативною і тому будь-який підпростір у ній є ідеалом. Візьмемо в ній підпростір корозмірності 1, тоді його прообраз К — ідеал корозмірності 1 в L (що містить [L, L]).

За припущенням існує спільний власний вектор $v\in V$ для К (зрозуміло, що ідеал К є розв'язним; якщо К = 0, то алгебра L є комутативною розмірності 1 і будь-який власний вектор для базисного елемента з L дозволяє завершити доведення). Це означає, що для $x\in K$ буде виконуватися рівність $xv=\lambda (x)v,$ де $\lambda :K\to F$ — деяка лінійна функція. Зафіксуємо x і позначимо через W (ненульовий) підпростір

$\{w\in W:xw=\lambda (x)w,\;\forall x\in K\}.$

Підпростір W є інваріантним при дії алгебри L. Нехай $w\in W,x\in L$. Щоб перевірити, що xw належить W, візьмемо довільний елемент $y\in K$ і розглянемо вираз $yxw=xyw-[x,y]w=\lambda (y)xw-\lambda ([x,y])w$. Очевидно достатньо довести, що $\lambda ([x,y])=0$. Для цього зафіксуємо $w\in W,x\in L.$ Нехай n > 0 — найменше ціле число, для якого $w,xw,...,x^{n}w$ є лінійно залежними. Нехай $W_{i}$ — підпростір у V, породжений елементами $w,xw,...,x^{i-1}w$ (також $W_{0}=0$), так що $\operatorname {dim} W_{n}=n,\;W_{n}=W_{n+i}\;(i\geqslant 0)$ і x відображає $W_{n}$ у $W_{n}.$ Легко перевірити, що будь-який елемент $y\in K$ залишає кожен підпростір $W_{i}$ інваріантним. В базисі $w,xw,...,x^{n-1}w$ простору $W_{n}$ елемент $y\in K$ представляється верхньою трикутною матрицею з $\lambda (y)$ на діагоналі. Це випливає з порівнянь

$yx^{i}w=\lambda (y)x^{i}w\mod W_{i},$,

які можна довести індукцією по i. Випадок i = 0 очевидний. Ми маємо $yx^{i}w=yxx^{i-1}w=xyx^{i-1}w-[x,y]x^{i-1}w.$ За припущенням індукції

$yx^{i-1}w=\lambda (y)x^{i-1}w+w'(w'\in W_{i-1})$.

Оскільки x відображає $W_{i-1}$ в $W_{i}$ порівняння є правильними для всіх i. Згідно з визначенням дії елемента $y\in K$ на просторі $W_{n}$, ми маємо $\operatorname {Tr} _{W_{n}}(y)=n\lambda (y).$ Зокрема, це є вірним для елементів з К виду [x, y] (Елемент x такий же, як вище, $y\in K$ ). Але як x, так і y зберігають $W_{n},$ тому [x, y] діє на $W_{n}$ як комутатор двох його ендоморфізмів і тому його слід дорівнює нулю. Звідси випливає, що $n\lambda ([x,y])=0.$ Оскільки $\operatorname {char} F=0,$ то $\lambda ([x,y])=0,$ що завершує доведення інваріантності підпростору W щодо дії алгебри L.

Записавши $L=K+Fz$ і використовуючи алгебричну замкнутість поля F, знайдемо власний вектор $v_{0}\in W$ для z (що відповідає деякому його власному значенню). Тоді $v_{0},$ очевидно, є власним вектором для всієї алгебри L і $\lambda$ можна продовжити до лінійної функції на L з умовою $xv_{0}=\lambda (x)v_{0},x\in L.$

Наслідки

Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді існує така послідовність ідеалів L, $0=L_{0}\subset L_{1}\subset ...\subset L_{n}=L,$ що $\operatorname {dim} L_{i}=i.$

Нехай L — довільна розв'язна алгебра Лі, $\rho :L\to {\mathfrak {gl}}(V)$ — її скінченновимірне представлення. Тоді алгебра $\rho (L)$ теж є розв'язною і тому зберігає деякий прапор. Зокрема якщо розглядати приєднане представлення, то прапор підпросторів, інваріантних щодо L, це ланцюжок ідеалів в L, кожен з яких має корозмірність один в наступному.

Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді з того, що $x\in [L,L]$ випливає, що відображення $\operatorname {ad} _{x}$ є нільпотентним. Як наслідок, підалгебра [L, L] є нільпотентною.

Виберемо прапор ідеалів, як в попередньому наслідку. В базисі $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ алгебри L, в якому елементи $(x_{1},x_{2},...,x_{i})$ породжують $L_{i}$ матриці з $\operatorname {ad} _{L}$ є верхніми трикутними. Тому матриці з $[\operatorname {ad} _{L},\operatorname {ad} _{L}]=\operatorname {ad} _{[L,L]}$ є верхніми трикутними із нульовими діагональними елементами. Тобто ендоморфізм $\operatorname {ad} _{x}$ є нільпотентним ендоморфізмом простору L при $x\in [L,L].$ Звідси він також є нільпотентним на інваріантному підпросторі [L, L], тож алгебра [L, L] є нільпотентною згідно теореми Енгеля.

Див. також

• Верхня трикутна матриця
• Розв'язна алгебра Лі
• Теорема Енгеля

Література

• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
• Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN 978-0-486-46282-0, MR 0332905