Симпліційна сфера
Симпліці́йна (або комбінато́рна) d-сфе́ра — це симпліційний комплекс, гомеоморфний d-вимірній сфері. Деякі симпліційні сфери з'являються як межі опуклого багатогранника, однак у вищих розмірностях більшість симпліційних сфер не можна отримати таким чином.
Найважливіша з відкритих проблем цієї галузі — g-гіпотеза, сформульована Пітером Макмалленом[en], який поставив питання про можливе число граней різних розмірностей симпліційні сфери. У грудні 2018 Карім Адіпрасіто[ru] довів гіпотезу для всіх d [1].
Приклади[ред. | ред. код]
- Для будь-якого n ⩾ 3 простий n-цикл Cn є симпліційним колом, тобто симпліційною сферою розмірності 1. Ця побудова дає всі симпліційні кола.
- Межа опуклого багатогранника в R3 з правильними гранями, такого як октаедр або ікосаедр, є 2-сферою.
- У загальнішому випадку, межа будь-якого (d+1)-вимірного компактного (або обмеженого) симпліційного опуклого багатогранника в евклідовому просторі є симпліційною сферою.
Властивості[ред. | ред. код]
З формули Ейлера випливає, що будь-яка симпліційна 2-сфера з n вершини має 3n − 6 ребер і 2n − 4 граней. Випадок n = 4 реалізується у вигляді тетраедра. При повторному здійсненні барицентричного підподілу легко побудувати симпліційні сфери для будь-якого n ⩾ 4. Однак Ернст Штайніц[ru] дав опис 1-скелетів (графів ребер) опуклих багатогранників у R3, з якого випливає, що будь-яка симпліційна 2-сфера є межею опуклого багатогранника.
Бранко Ґрюнбаум побудував приклад симпліційної сфери, яка не є межею багатовимірного багатогранника. Гіль Калай[en] довів, що, фактично, «більша частина» симпліційних сфер не є межами багатогранників. Найменший приклад існує в розмірності d = 4 і має f0 = 8 вершин.
Теорема про верхню межу[en] дає верхні межі для числа fi i-граней будь-якої симпліційної d-сфери з f0 = n вершинами. Гіпотезу довів для поліедральних сфер у 1970 Пітер Макмаллен[en][2], а для загальних симпліційних сфер у 1975 — Річард Стенлі[en].
Сформульована Макмалленом у 1970 році g-гіпотеза ставить питання про повний опис f-векторів симпліційних d-сфер. Іншими словами, які можливі набори числа граней кожної розмірності симпліційної d-сфери? Для поліедральних сфер відповідь дає g-теорема, яку довели в 1979 році Біллера і Лі (існування) і Стенлі (необхідність). Висловлено припущення, що ті самі умови необхідні для загальних симпліційних сфер.
На 2015 рік гіпотеза залишалася відкритою для d=5 і вище. У грудні 2018 Карім Адіпрасіто довів гіпотезу для всіх d[1].
Див. також[ред. | ред. код]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б Adiprasito, 2018.
- ↑ McMullen, 1971, с. 187–200.
Література[ред. | ред. код]
- Karim Adiprasito. Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity. — 2018. — 21 квітня. — arXiv:1812.10454v2. Архівовано з джерела 16 лютого 2019. Процитовано 24 грудня 2020.
- Richard P. Stanley. Combinatorics and commutative algebra. — Second edition. — Boston, MA : Birkhäuser Boston, Inc, 1996. — Т. 41. — С. x+164. — (Progress in Mathematics) — ISBN 0-8176-3836-9.
- P. McMullen. On the upper-bound conjecture for convex polytopes // J. Combinatorial Theory. — 1971. — Вип. 10 (21 квітня). — С. 187–200. — (Ser. B).