Алгебричний многовид: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 13: | Рядок 13: | ||
Підмножина <math>V\,</math>, множини <math> \mathbf A^n </math> називається '''афінною алгебраїчною множиною''', якщо <math>V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня афінна алгебраїчна множина називається ''незвідною'', якщо вона не може бути представлена у вигляді [[об'єднання множин|суми]] двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто '''афінними многовидами'''. |
Підмножина <math>V\,</math>, множини <math> \mathbf A^n </math> називається '''афінною алгебраїчною множиною''', якщо <math>V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня афінна алгебраїчна множина називається ''незвідною'', якщо вона не може бути представлена у вигляді [[об'єднання множин|суми]] двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто '''афінними многовидами'''. |
||
Для афінного многовиду можна задати природну [[топологія|топологію]], [[замкнута множина|замкнутими множинами]] якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається [[топологія |
Для афінного многовиду можна задати природну [[топологія|топологію]], [[замкнута множина|замкнутими множинами]] якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається [[топологія Зариського|топологією Зариського]]. |
||
Для <math>V \subset \mathbf A^n</math> нехай <math>I(V)\,</math> — [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] многочленів, значення яких на множині <math>V\,</math> рівні нулю. |
Для <math>V \subset \mathbf A^n</math> нехай <math>I(V)\,</math> — [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] многочленів, значення яких на множині <math>V\,</math> рівні нулю. |
||
Рядок 28: | Рядок 28: | ||
Підмножина <math> V </math>, множини <math>\mathbf P^n</math> називається '''проективною алгебраїчною множиною''', якщо <math> V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами. |
Підмножина <math> V </math>, множини <math>\mathbf P^n</math> називається '''проективною алгебраїчною множиною''', якщо <math> V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами. |
||
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію |
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського. |
||
Для <math>V \subset \mathbf P^n</math> Нехай <math>I(V)\,</math> — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині <math> V\,</math> рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини <math>V\,</math> фактор-кільце від цього ідеалу називається '''координатним кільцем'''. |
Для <math>V \subset \mathbf P^n</math> Нехай <math>I(V)\,</math> — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині <math> V\,</math> рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини <math>V\,</math> фактор-кільце від цього ідеалу називається '''координатним кільцем'''. |
||
Рядок 38: | Рядок 38: | ||
== Див. також == |
== Див. також == |
||
*[[Теорема Гільберта про нулі]] |
*[[Теорема Гільберта про нулі]] |
||
== Посилання == |
|||
[http://www.imath.kiev.ua/~drozd/AG-App.pdf Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій] |
|||
== Література == |
== Література == |
||
* Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. |
|||
* Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9 |
|||
* Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. |
|||
* David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. |
* David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. |
||
* David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6. |
* David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6. |
Версія за 18:01, 21 червня 2010
В класичній алгебраїчній геометрії алгебраїчний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.
Визначення
Розглядаються чотири види алгебраїчних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.
Афінні многовиди
Нехай є алгебраїчно замкнуте поле і — n-мірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:
Підмножина , множини називається афінною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто афінними многовидами.
Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.
Для нехай — ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.
Для будь-якої алгебраїчної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів від для цього ідеалу.
Проективні многовиди
Нехай — n-мірний проективний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:
Підмножина , множини називається проективною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.
Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини фактор-кільце від цього ідеалу називається координатним кільцем.
Основні властивості
- Афінна алгебраїчна множина є алгебраїчним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
- Довільна непорожня афінна алгебраїчна множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебраїчних многовидів.
Див. також
Посилання
Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій
Література
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
- David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
- David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
- David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.