Супутня матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Супутня матриця (англ. companion matrix) нормованого многочлену

це квадратна матриця визначена як

Коли - стандартний базис маємо

В літературі іноді подають супутню матрицю у транспонованому вигляді.

Характеристики[ред.ред. код]

Характеристичний поліном так як і мінімальний многочлен C(p) дорівнює p.[1]

У певному сенсі, матриця C(p) є «супутньою» до многочлена p.

Якщо An*n матриця з елементами з деякого поля K, тоді наступні твердження тотожні:

  • Aподібна супутній матриці її характеристичного многочлена над K
  • характеристичний многочлен матриці A збігається з мінімальним многочленом матриці A, тотожно мінімальний многочлен має степінь n
  • існує циклічний вектор v у для A, що означає, що {v, Av, A2v, ..., An−1v} — базис V.

Не кожні квадратна матриця подібна супутній. Але кожна матриця подібна матриці складеній з блоків супутніх матриць. Більше того, ці супутні матриці можна підібрати так, що їх многочлени ділитимуть один одного; тоді вони унікально визначені A. Це буде Фробеніусова нормальна форма A.

Зведення до діагонального виду[ред.ред. код]

Якщо p(t) має різні корені λ1, ..., λn (власні значення C(p)), тоді C(p) можна діагоналізувати так:

де Vвизначник Вандермонда відповідних λ — коренів.

Лінійні рекурентні послідовності[ред.ред. код]

Транспонована супутня матриця

характеристичного полінома

породжує лінійну рекурентна послідовність , в такому сенсі

де елементи послідовності задовольняють системі лінійних рівнянь

для усіх .

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 146–147. ISBN 0-521-30586-1. Процитовано 2010-02-10.