Супутня матриця

Супутня матриця (англ. companion matrix) нормованого многочлену

$p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,$

це квадратна матриця визначена як

$C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.$

Коли $e_{i}$ - стандартний базис маємо

$Ce_{i}=C^{i}e_{1}=e_{i+1}$

В літературі іноді подають супутню матрицю у транспонованому вигляді.

Характеристики

Характеристичний поліном так як і мінімальний многочлен C(p) дорівнює p.

У певному сенсі, матриця C(p) є «супутньою» до многочлена p.

Якщо A — n*n матриця з елементами з деякого поля K, тоді наступні твердження тотожні:

• A — подібна супутній матриці її характеристичного многочлена над K
• характеристичний многочлен матриці A збігається з мінімальним многочленом матриці A, тотожно мінімальний многочлен має степінь n
• існує циклічний вектор v у $V=K^{n}$ для A, що означає, що {v, Av, A²v, ..., Aⁿ⁻¹v} — базис V.

Не кожні квадратна матриця подібна супутній. Але кожна матриця подібна матриці складеній з блоків супутніх матриць. Більше того, ці супутні матриці можна підібрати так, що їх многочлени ділитимуть один одного; тоді вони унікально визначені A. Це буде Фробеніусова нормальна форма A.

Зведення до діагонального виду

Якщо p(t) має різні корені λ₁, ..., λ_n (власні значення C(p)), тоді C(p) можна діагоналізувати так:

$VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$

де V — визначник Вандермонда відповідних λ — коренів.

Лінійні рекурентні послідовності

Транспонована супутня матриця

$C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}$

характеристичного полінома

$p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,$

породжує лінійну рекурентну послідовність $a_{0},a_{1},\dots ,a_{k},\dots$, в такому сенсі

$C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}},$

де елементи послідовності задовольняють системі лінійних рівнянь

$a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}-\dots -c_{n-1}a_{k+n-1}$

для усіх $k\geq 0$.

Див. також

• Теорема Гамільтона — Келі

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)