Теорема Гамільтона — Келі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю:

Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від матриці як лінійні комбінації

Пояснення та приклади[ред.ред. код]

Оскільки результатом додавання, множення та множення на скаляр квадратних матриць є квадратна матриця, то можна конструювати поліноми з матриць.

Тому для довільного полінома можливо розглянути вираз

який є квадратною матрицею того самого порядка, що й

Приклад[ред.ред. код]

Тоді

Доведення[ред.ред. код]

Часткові випадки[ред.ред. код]

  • Доведемо теорему для матриць 2x2.

Маємо тому

Якщо — діагональна матриця і — поліном, то

Для характеристичного полінома тому одержуємо

Загальний випадок[ред.ред. код]

Позначимо через союзну матрицю для характеристичної матриці

Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:

За властивостями союзних матриць:

Нехай:

Підставимо і отримаємо:

Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:

Помножимо ці рівності відповідно на справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо

Джерела[ред.ред. код]