Теорема Гамільтона — Келі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці A до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю:

\ p_A(A)=0.

Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від n\times n матриці A як лінійні комбінації A^{n-1},\ldots,A,I.

Пояснення та приклади[ред.ред. код]

Оскільки результатом додавання, множення та множення на скаляр квадратних матриць є квадратна матриця, то можна конструювати поліноми з матриць.

Тому для довільного полінома \ f(x)=a_0 x^k+a_1 x_{k-1}+\ldots+a_{k-1}x+a_k можливо розглянути вираз

\ f(A)=a_0 A^k+a_1 A^{k-1}+\ldots+a_{k-1} A+a_k I,

який є квадратною матрицею того самого порядка, що й A.

Приклад[ред.ред. код]

A=\begin{bmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{bmatrix}, \quad p_A(\lambda)=\lambda^2-3\lambda-2.

Тоді A^2=\begin{bmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 3\\6 & 11\end{bmatrix}, \qquad p_A(A)=A^2-3A-2I=\begin{bmatrix}2 & 3\\6 & 11\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & 3\\6 & 9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}.

Доведення[ред.ред. код]

Часткові випадки[ред.ред. код]

  • Доведемо теорему для матриць 2x2.

Маємо A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}, \quad p_A(\lambda)=\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+(\det A), тому

p_A(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I = \begin{bmatrix}a^2+bc & ab+bd\\ ca+dc & cb+d^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}(a+d)a & (a+d)b\\ (a+d)c & (a+d)d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}ad-bc & 0\\0 & ad-bc\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}.

Якщо A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) — діагональна матриця і \ f(x) — поліном, то

f(A)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n)).

Для характеристичного полінома \ p_A(\lambda_1)=\ldots=p_A(\lambda_n)=0, тому одержуємо p_A(A)= \operatorname{diag}(0,\ldots,0).

Загальний випадок[ред.ред. код]

Позначимо через \ B союзну матрицю для характеристичної матриці \ \lambda I_n-A.

Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника \lambda I_n-A, і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:

B = \sum_{i = 0}^{n - 1} \lambda^i B_i.

За властивостями союзних матриць:

B \cdot (\lambda I_n - A) = \det(\lambda I_n - A) I_n = p(\lambda) I_n

Нехай:

p(\lambda)=\lambda^n+\lambda^{n-1}c_{n-1}+\cdots+\lambda c_1+c_0,

Підставимо і отримаємо:

 \sum_{i = 0}^{n - 1} \lambda^i B_i (\lambda I_n - A) = \lambda^nI_n+\lambda^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+\lambda c_1I_n+c_0I_n,\,

Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:

I_n = B_{n-1} \,
c_i I_n = B_{i-1} - B_i \cdot A, \qquad 0<i<n
c_0 I_n = -B_0 \cdot A

Помножимо ці рівності відповідно на \ A^n, A^{n-1}, \ldots, I_n справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо

p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I_n=0.

Джерела[ред.ред. код]