Теорема Гамільтона — Келі

Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці $A$ до її характеристичного полінома тотожно дорівнює нулю:

$\ p_{A}(A)=0.$

Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від $n\times n$ матриці $A$ як лінійні комбінації $A^{n-1},\ldots ,A,I.$ Твердження теореми є справедливим для матриць із елементами із будь-якого комутативного кільця з одиницею зокрема будь-якого поля.

Пояснення та приклади

Оскільки результатом додавання, множення та множення на скаляр квадратних матриць є квадратна матриця, то можна конструювати поліноми з матриць.

Тому для довільного полінома $\ f(x)=a_{0}x^{k}+a_{1}x_{k-1}+\ldots +a_{k-1}x+a_{k}$ можливо розглянути вираз

$\ f(A)=a_{0}A^{k}+a_{1}A^{k-1}+\ldots +a_{k-1}A+a_{k}I,$

який є квадратною матрицею того самого порядка, що й $A.$

Приклад

$A={\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}},\quad p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-3\lambda -2.$

Тоді $A^{2}={\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3\\6&11\end{bmatrix}},\qquad p_{A}(A)=A^{2}-3A-2I={\begin{bmatrix}2&3\\6&11\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&3\\6&9\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

Доведення

Часткові випадки

• Доведемо теорему для матриць 2x2.

Маємо $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},\quad p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-(\operatorname {tr} A)\lambda +(\det A),$ тому

$p_{A}(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I={\begin{bmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+dc&cb+d^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}(a+d)a&(a+d)b\\(a+d)c&(a+d)d\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

• Розглянемо випадок діагональних матриць.

Якщо $A=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ — діагональна матриця і $\ f(x)$ — поліном, то

$f(A)=\operatorname {diag} (f(\lambda _{1}),\ldots ,f(\lambda _{n})).$

Для характеристичного полінома $\ p_{A}(\lambda _{1})=\ldots =p_{A}(\lambda _{n})=0,$ тому одержуємо $p_{A}(A)=\operatorname {diag} (0,\ldots ,0).$

Загальний випадок

Позначимо через $\ B$ союзну матрицю для характеристичної матриці $\ \lambda I_{n}-A.$

Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника $\lambda I_{n}-A,$ і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:

$B=\sum _{i=0}^{n-1}\lambda ^{i}B_{i}.$

За властивостями союзних матриць:

$B\cdot (\lambda I_{n}-A)=\det(\lambda I_{n}-A)I_{n}=p(\lambda )I_{n}$

Нехай:

$p(\lambda )=\lambda ^{n}+\lambda ^{n-1}c_{n-1}+\cdots +\lambda c_{1}+c_{0},$

Підставимо і отримаємо:

$\sum _{i=0}^{n-1}\lambda ^{i}B_{i}(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}I_{n}+\lambda ^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +\lambda c_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},\,$

Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:

$I_{n}=B_{n-1}\,$

$c_{i}I_{n}=B_{i-1}-B_{i}\cdot A,\qquad 0<i<n$

$c_{0}I_{n}=-B_{0}\cdot A$

Помножимо ці рівності відповідно на $\ A^{n},A^{n-1},\ldots ,I_{n}$ справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо

$p(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=0.$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)