Теорема Ландау

У комплексному аналізі теорема Ландау — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Шотткі і може використовуватися зокрема для доведення малої теореми Пікара — одного з найвідоміших тверджень комплексного аналізу.

Твердження теореми

Якщо $f(z)$ є голоморфною функцією всередині круга $|z|<R$, що не є рівною в цьому крузі 0 і 1 і $f(0)=\alpha ,\;f'(0)=\beta$, то має місце нерівність $R<\Omega (\alpha ,\beta$), де $\Omega (\alpha ,\beta )$ залежить тільки від $\alpha$ і $\beta$ і не залежить від самої функції.

Доведення

Розглянемо спершу функцію $w=f(z)$, голоморфну всередині круга $|z|<1$, що не є рівною 0 і 1 в цьому крузі. Побудуємо допоміжну функцію

$F(z)=\ln \left({\sqrt {{\frac {\ln f(z)}{2\pi i}}-{\frac {\ln f(z)}{2\pi }}-1}}\right)$

Ця функція $F(z)$ буде голоморфною всередині круга $|z|<1$, оскільки функція $f(z)$ в цьому крузі не дорівнює нулю і не дорівнює одиниці. Крім того, функція $F(z)$ не є рівною числам виду $\pm \ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})+2m\pi i$, де $n$ — натуральне число, $m$ — будь-яке ціле число. Позначимо множину цих точок $E$.

Справді, розв'язуючи рівняння для $F(z)$ щодо $f(z)$, знайдемо:

$f(z)=-e^{{\frac {\pi i}{2}}(e^{2F(z)}+e^{-2F(z)})}$

і, отже, вважаючи $F(z)$ рівним будь-якому значенню з множини $E$, мали б $f(z)=1$, що неможливо.

Кожна точка комплексної площини знаходиться від множини $E$ (тобто від найближчої точки цієї множини) на відстані, меншій $b$, де $b$ — деяка константа, що безпосередньо випливає з рівностей

$-\ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})={\frac {1}{\ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})}}=\ln({\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}})\to \infty$

і

$\ln({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})-\ln({\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}})=\ln {\frac {{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}{{\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}}}}\to 0$.

Припускаючи $F'(0)\neq 0$, розглянемо функцію:

${\frac {F(z)-F(0)}{F'(0)}}=z+a_{2}z^{2}+\ldots$.

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці деякого радіуса $B_{1}$, що не залежить від конкретної функції і всі точки якого є значеннями цієї функції. Отже, для функції $F(z)$ буде існувати круг з центром у деякій точці радіуса $B_{1}|F'(0)|$, всі точки якого є значеннями функції $F(z)$. Оскільки цей круг не може містити точок множини $E$, то повинна виконуватись нерівність

$B_{1}|F'(0)|<b$

Зрозуміло, що якщо $F'(0)=0$, то це нерівність теж є справедливою.

Отже, маємо:

$|F'(0)|<b<{\frac {b}{B_{1}}}=C_{1}$

де $C_{1}$ — константа, яка не залежить від функції $F(z)$. Повертаючись до даної функції $f(z)$, з виразу цієї функції через $F(z)$ і попередньої нерівності отримаємо:

$|f'(0)|<L(f(0))$,

де $L$ — деяка функція, що не залежить від функції $f$.

Тепер для функції в умовах теореми введемо функцію $\varphi (z)=f(Rz)$. Функцію $\varphi (z)$ є голоморфною при $|z|<1$ і не рівною в цьому крузі 0 і 1. Застосовуючи до цієї функції останню доведену нерівність, отримуємо: $|\varphi '(0)|<L(\varphi (0))$ або, повертаючись до даної функції $f(z)$, $R|f'(0)|<L(f(0))$ або $R<{\frac {L(f(0))}{|f'(0)|}}$ звідки випливає: $R<\Omega (\alpha ,\beta )$ де $\Omega (\alpha ,\beta )={\frac {L(\alpha )}{|\beta |}}$.

Теорема Ландау — Каратеодорі

В твердженні точно можна задати значення функції $\Omega (\alpha ,\beta )$. А саме в позначеннях теореми Ландау:

$\Omega (\alpha ,\beta )={\frac {2\operatorname {Im} \tau (\alpha )}{|\beta ||\tau '(\alpha )|}}$,

де $\tau (\lambda )$ є гілкою оберненої функції до функції $\lambda (\tau )$ — модулярної ламбда функції, що за означенням є модулярною функцією групи дробово-лінійних перетворень $\tau \to {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\;\;ad-bc=1$, де $a,d$ є непарними цілими числами, а $b,c$ — парними.

Через тета функції модулярну ламбда функцію можна записати як $\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}$, через еліптичні функції Веєрштраса — $\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.$

Фундаментальною областю є регіон $\operatorname {Int} T_{2}=\{\tau :|\tau \pm 1/2|>1/2,\;|\operatorname {Re} \;\tau |<1,\;\operatorname {Im} \;\tau >0\}$.

У області $T_{2}$також додаються граничні точки для яких $\operatorname {Re} \;\tau \leqslant 0$.

За гілку оберненої функції в теоремі Ландау — Каратеодорі можна приймати ту гілку для якої значення функції належить фундаментальній області $T_{2}$.

Див. також

• Теорема Блоха (комплексний аналіз)
• Теорема Пікара

Література

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Hille E. (2002), Analytic function theory, т. Volume 2 (вид. 2ed., AMS), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0821833448 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка)