Матриця Гессе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриця Гессеквадратна матриця елементами якої є часткові похідні деякої функції. Поняття було введене Людвігом Отто Гессе (1844), який використовував іншу назву. Термін матриця Гессе був введений Джеймсом Джозефом Сильвестром.

Визначення[ред.ред. код]

Формально, нехай дано дійсну функцію від n змінних:

якщо у функції f існують всі похідні другого порядку, то можна визначити матрицю Гессе для цієї функції:

де тобто

Визначник цієї матриці називається визначником Гессе, або гессіаном.

Значення матриці Гессе пояснюється її появою у формулі Тейлора:

Матриці Гессе використовуються в задачах оптимізації методом Ньютона. Повне обчислення матриці Гессе може бути досить складним, тому були розроблені квазіньютонівські алгоритми, засновані на наближених виразах для матриці Гессе. Найвідоміший з них — алгоритм Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шанно.

Симетрія матриці Гессе[ред.ред. код]

Змішані похідні функції f — це елементи матриці Гессе, що стоять не на головній діагоналі. Якщо вони неперервні, то порядок диференціювання не важливий:

Це можна також записати як

В цьому випадку матриця Гессе є симетричною.

Критичні точки функції[ред.ред. код]

Якщо градієнт (її векторна похідна) рівний нулю в деякій точці , то ця точка називається критичною.

  • Якщо матриця Гессе є додатноозначеною в точці , то — точка локального мінімуму функції .
  • Якщо матриця Гессе є від'ємноозначеною в точці , то — точка локального максимуму функції .
  • Якщо матриця Гессе не є ні додатноозначеною, ні від'ємноозначеною, причому є невиродженою (тобто ), то сідлова точка функції .

Обрамлена матриця Гессе[ред.ред. код]

У випадку оптимізації з додатковими умовами виникає також поняття обрамленої матриці Гессе. Нехай знову маємо функцію:

але тепер також розглянемо умови:

При оптимізації функції f з додатковими умовами обрамлена матриця Гессе має вигляд:

Для даної матриці можна сформувати різні головні мінори. Позначимо — головний мінор матриці, для якого останнім елементом на головній діагоналі є Тоді можна сформувати достатні умови екстремуму для функції при виконанні обмежень.

Функція буде мати максимум при виконанні умов, якщо знаки послідовних n - m мінорів будуть чергуватися, при чому знак буде рівний

Функція буде мати мінімум при виконанні умов, всі послідовні n - m мінорів мають один знак, а саме

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Якщо f — векторзначна функція, тобто

то її другі часткові похідні утворюють не матрицю, а тензор рангу n+1.

Література[ред.ред. код]

  • Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с.
  • Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, third edition, McGraw-Hill, 1984.
  • Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30303-1