Таблиця інтегралів ірраціональних функцій

Це список інтегралів (первісних функцій) ірраціональних функцій. Для повнішого списку інтегралів дивись таблицю інтегралів.

Інтеграли, що включають r = (x² + a²)^½

Інтеграли, що включають $r={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$

$\int r\;dx={\frac {1}{2}}\left(xr+a^{2}\,\ln \left(x+r\right)\right)$

$\int r^{3}\;dx={\frac {1}{4}}xr^{3}+{\frac {3}{8}}a^{2}xr+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left(x+r\right)$

$\int r^{5}\;dx={\frac {1}{6}}xr^{5}+{\frac {5}{24}}a^{2}xr^{3}+{\frac {5}{16}}a^{4}xr+{\frac {5}{16}}a^{6}\ln \left(x+r\right)$

$\int xr\;dx={\frac {r^{3}}{3}}$

$\int xr^{3}\;dx={\frac {r^{5}}{5}}$

$\int xr^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+3}}{2n+3}}$

$\int x^{2}r\;dx={\frac {xr^{3}}{4}}-{\frac {a^{2}xr}{8}}-{\frac {a^{4}}{8}}\ln \left(x+r\right)$

$\int x^{2}r^{3}\;dx={\frac {xr^{5}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{24}}-{\frac {a^{4}xr}{16}}-{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left(x+r\right)$

$\int x^{3}r\;dx={\frac {r^{5}}{5}}-{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}$

$\int x^{3}r^{3}\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}$

$\int x^{3}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+5}}{2n+5}}-{\frac {a^{3}r^{2n+3}}{2n+3}}$

$\int x^{4}r\;dx={\frac {x^{3}r^{3}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{8}}+{\frac {a^{4}xr}{16}}+{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left(x+r\right)$

$\int x^{4}r^{3}\;dx={\frac {x^{3}r^{5}}{8}}-{\frac {a^{2}xr^{5}}{16}}+{\frac {a^{4}xr^{3}}{64}}+{\frac {3a^{6}xr}{128}}+{\frac {3a^{8}}{128}}\ln \left(x+r\right)$

$\int x^{5}r\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {2a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}$

$\int x^{5}r^{3}\;dx={\frac {r^{9}}{9}}-{\frac {2a^{2}r^{7}}{7}}+{\frac {a^{4}r^{5}}{5}}$

$\int x^{5}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+7}}{2n+7}}-{\frac {2a^{2}r^{2n+5}}{2n+5}}+{\frac {a^{4}r^{2n+3}}{2n+3}}$

$\int {\frac {r\;dx}{x}}=r-a\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|=r-a\,\operatorname {arsinh} {\frac {a}{x}}$

$\int {\frac {r^{3}\;dx}{x}}={\frac {r^{3}}{3}}+a^{2}r-a^{3}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|$

$\int {\frac {r^{5}\;dx}{x}}={\frac {r^{5}}{5}}+{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}+a^{4}r-a^{5}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|$

$\int {\frac {r^{7}\;dx}{x}}={\frac {r^{7}}{7}}+{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}+a^{6}r-a^{7}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|$

$\int {\frac {dx}{r}}=\operatorname {arsinh} {\frac {x}{a}}=\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)$

$\int {\frac {dx}{r^{3}}}={\frac {x}{a^{2}r}}$

$\int {\frac {x\,dx}{r}}=r$

$\int {\frac {x\,dx}{r^{3}}}=-{\frac {1}{r}}$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{r}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\,\operatorname {arsinh} {\frac {x}{a}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)$

$\int {\frac {dx}{xr}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arsinh} {\frac {a}{x}}=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|$

Інтеграли, що включають s = (x² - a²)^½

Інтеграли, що включають$s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$:
Припустимо $(x^{2}>a^{2})$, для $(x^{2}<a^{2})$, дивись наступну секцію:

$\int s\;dx={\frac {1}{2}}\left(xs-a^{2}\ln(x+s)\right)$

$\int xs\;dx={\frac {1}{3}}s^{3}$

$\int {\frac {s\;dx}{x}}=s-a\arccos \left|{\frac {a}{x}}\right|$

$\int {\frac {dx}{s}}=\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|$

Зауважте, що $\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|=\mathrm {sgn} (x)\,\operatorname {arcosh} \left|{\frac {x}{a}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+s}{x-s}}\right)$, where the positive value of $\operatorname {arcosh} \left|{\frac {x}{a}}\right|$ is to be taken.

$\int {\frac {x\;dx}{s}}=s$

$\int {\frac {x\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{s}}$

$\int {\frac {x\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{3s^{3}}}$

$\int {\frac {x\;dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{5s^{5}}}$

$\int {\frac {x\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{(2n-1)s^{2n-1}}}$

$\int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{2n-1}}{\frac {x^{2m-1}}{s^{2n-1}}}+{\frac {2m-1}{2n-1}}\int {\frac {x^{2m-2}\;dx}{s^{2n-1}}}$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{s}}={\frac {xs}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {x}{s}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|$

$\int {\frac {x^{4}\;dx}{s}}={\frac {x^{3}s}{4}}+{\frac {3}{8}}a^{2}xs+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|$

$\int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{3}}}={\frac {xs}{2}}-{\frac {a^{2}x}{s}}+{\frac {3}{2}}a^{2}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|$

$\int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|$

$\int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=(-1)^{n-m}{\frac {1}{a^{2(n-m)}}}\sum _{i=0}^{n-m-1}{\frac {1}{2(m+i)+1}}{n-m-1 \choose i}{\frac {x^{2(m+i)+1}}{s^{2(m+i)+1}}}\qquad {\mbox{(}}n>m\geq 0{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x}{s}}$

$\int {\frac {dx}{s^{5}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}\right]$

$\int {\frac {dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]$

$\int {\frac {dx}{s^{9}}}={\frac {1}{a^{8}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {3}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x^{3}}{3s^{3}}}$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{7}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{9}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {2}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]$

Інтеграли, що включають u = (a² - x²)^½

Інтеграли, що включають $u={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$:

$\int u\;dx={\frac {1}{2}}\left(xu+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

$\int xu\;dx=-{\frac {1}{3}}u^{3}\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

$\int x^{2}u\;dx=-{\frac {x}{4}}u^{3}+{\frac {a^{2}}{8}}(xu+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}})\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

$\int {\frac {u\;dx}{x}}=u-a\ln \left|{\frac {a+u}{x}}\right|\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{u}}=\arcsin {\frac {x}{a}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

$\int {\frac {x^{2}\;dx}{u}}={\frac {1}{2}}\left(-xu+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

$\int u\;dx={\frac {1}{2}}\left(xu-\operatorname {sgn} x\,\operatorname {arcosh} \left|{\frac {x}{a}}\right|\right)\qquad {\mbox{(for }}|x|\geq |a|{\mbox{)}}$

$\int {\frac {x}{u}}\;dx=-u\qquad {\mbox{(}}|x|\leq |a|{\mbox{)}}$

Інтеграли, що включають S = (ax + b)^½

Інтеграли, що включають $S={\sqrt {ax+b}}$:

$\int S{dx}={\frac {2S^{3}}{3a}}$

$\int {\frac {dx}{S}}={\frac {2S}{a}}$

$\int {\frac {dx}{xS}}={\begin{cases}-{\frac {2}{\sqrt {b}}}\mathrm {arcoth} \left({\frac {S}{\sqrt {b}}}\right)&{\mbox{(for }}b>0,\quad ax>0{\mbox{)}}\\-{\frac {2}{\sqrt {b}}}\mathrm {artanh} \left({\frac {S}{\sqrt {b}}}\right)&{\mbox{(for }}b>0,\quad ax<0{\mbox{)}}\\{\frac {2}{\sqrt {-b}}}\arctan \left({\frac {S}{\sqrt {-b}}}\right)&{\mbox{(for }}b<0{\mbox{)}}\\\end{cases}}$

$\int {\frac {S}{x}}\,dx={\begin{cases}2\left(S-{\sqrt {b}}\,\mathrm {arcoth} \left({\frac {S}{\sqrt {b}}}\right)\right)&{\mbox{(for }}b>0,\quad ax>0{\mbox{)}}\\2\left(S-{\sqrt {b}}\,\mathrm {artanh} \left({\frac {S}{\sqrt {b}}}\right)\right)&{\mbox{(for }}b>0,\quad ax<0{\mbox{)}}\\2\left(S-{\sqrt {-b}}\arctan \left({\frac {S}{\sqrt {-b}}}\right)\right)&{\mbox{(for }}b<0{\mbox{)}}\\\end{cases}}$

$\int {\frac {x^{n}}{S}}dx={\frac {2}{a(2n+1)}}\left(x^{n}S-bn\int {\frac {x^{n-1}}{S}}dx\right)$

$\int x^{n}Sdx={\frac {2}{a(2n+3)}}\left(x^{n}S^{3}-nb\int x^{n-1}Sdx\right)$

$\int {\frac {1}{x^{n}S}}dx=-{\frac {1}{b(n-1)}}\left({\frac {S}{x^{n-1}}}+\left(n-{\frac {3}{2}}\right)a\int {\frac {dx}{x^{n-1}S}}\right)$

Інтеграли, що включають R = (ax² + bx + c)^½

Інтеграли, що включають $R={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$:

Нехай (ax² + bx + c) не можна привести до вигляду (px + q)² для деяких p та q, тоді:

$\int {\frac {dx}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left|2{\sqrt {a}}R+2ax+b\right|\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,\operatorname {arsinh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\qquad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}>0{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{R}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{(for }}a>0{\mbox{, }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{R}}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}}}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\qquad {\mbox{(for }}a<0{\mbox{, }}4ac-b^{2}<0{\mbox{, }}\left|2ax+b\right|<{\sqrt {b^{2}-4ac}}{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{R^{3}}}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2})R}}$

$\int {\frac {dx}{R^{5}}}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2})R}}\left({\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}}}\right)$

$\int {\frac {dx}{R^{2n+1}}}={\frac {2}{(2n-1)(4ac-b^{2})}}\left({\frac {2ax+b}{R^{2n-1}}}+4a(n-1)\int {\frac {dx}{R^{2n-1}}}\right)$

$\int {\frac {x}{R}}\;dx={\frac {R}{a}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R}}$

$\int {\frac {x}{R^{3}}}\;dx=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2})R}}$

$\int {\frac {x}{R^{2n+1}}}\;dx=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{2n-1}}}-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{R^{2n+1}}}$

$\int {\frac {dx}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\ln \left({\frac {2{\sqrt {c}}R+bx+2c}{x}}\right)$

$\int {\frac {dx}{xR}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right)$

Інтеграли, що включають Y = (ax²+bx+c)^(2m+1)⁄₂

Інтеграли, що включають $Y=(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2m+1}{2}}$, типу:

$\int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {2m+1}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}\int (a-t^{2})^{m-1}dt,$

де $m\!$ є цілим додатнім числом, а змінна $t\!$ задається виразом $t={ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\!$ (див. Підстановка Абеля).

Для випадку $m=1\!$ матимемо:

$\int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {3}{2}}}={4 \over 4ac-b^{2}}\int dt={4t \over {4ac-b^{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)\;\;{ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.$

Для випадку $m=2\!$ матимемо:

$\int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {5}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\int (a-t^{2})dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\left(at-{\frac {t^{3}}{3}}\right),$

куди потім можна підставити явне значення для $t\!$ й спростити результат.

Для випадку $m=3\!$ матимемо:

$\int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {7}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\int (a-t^{2})^{2}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\left(a^{2}t-{\frac {2a}{3}}t^{3}+{\frac {t^{5}}{5}}\right)$

і так далі.

Джерела

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. Ці інтеграли перелічені на сторінці 13 цієї класичної книги.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
• Двайт Г. Б. Иррациональные алгебраические функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — С. 40-69. — 228 с. (рос.)