Підстановка Абеля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Підстановка Абеля була запропонована Н.Г. Абелем для обчислення значень інтегралів типу:

де є цілим додатнім числом, , а змінна задається виразом (1) (див Розв'язок).

Розв'язок

[ред. | ред. код]

Підстановка Абеля пов'язана з похідною від виразу так

          (1)

де враховано, що похідна .

Коли піднести поданий вираз до квадрата та помножити на матимемо, що

Далі, віднявши цей вираз від добутку отримаємо в результаті

Звідки визначається як

й відповідно

          (2)

З виразу (1) також можна отримати наступну рівність

продиференціювавши яку, з врахуванням що (див. вираз (1)), знаходимо

Відповідно, після рознесення виразів з та з по різні боки цього рівняння, матимемо

          (3)

Далі, поділивши попарно ліву та праву частини виразу (3) відповідно на ліву та праву частини виразу (2) знаходимо що

Тому використовуючи підстановку Абеля початковий інтеграл можна записати у вигляді:

де можна легко провести інтегрування по змінній для цілих додатних значень й після інтегрування просто підставити в кінцевий результат значення змінної (див. вираз (1)).

Приклади

[ред. | ред. код]

Для випадку матимемо:

Для випадку матимемо:

куди потім можна підставити явне значення для (див. вираз (1)) й спростити результат.

Для випадку матимемо:

й так далі.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]

Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення», Т II, Москва 1966.