Підстановка Абеля була запропонована Н.Г. Абелем для обчислення значень інтегралів типу:
![{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {2m+1}{2}}}=\int {dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}\int (a-t^{2})^{m-1}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf6519ce9187a7ce840c6638091aa5f1c96bd5b)
де
є цілим додатнім числом,
, а
змінна
задається виразом (1) (див Розв'язок).
Підстановка Абеля пов'язана з похідною від виразу
так
(1)
де враховано, що похідна
.
Коли піднести поданий вираз до квадрата та помножити на
матимемо, що
![{\displaystyle 4t^{2}Y=(Y')^{2}={Y' \over 2{\sqrt {Y}}}=4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b9c7aae261aa7393453598906803090c6f2df3)
Далі, віднявши цей вираз від добутку
отримаємо в результаті
![{\displaystyle 4aY-4t^{2}Y=4Y(a-t^{2})=4a^{2}x^{2}+4abx+4ac-(4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2})=4ac-b^{2}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c371abae365b28cc901d95f6dc284c483b92e5)
Звідки
визначається як
![{\displaystyle Y={4ac-b^{2} \over 4}{1 \over a-t^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0f91fd3b3cf88231207fe62a08b04d9cd8ce5c)
й відповідно
(2)
З виразу (1) також можна отримати наступну рівність
![{\displaystyle t{\sqrt {Y}}=ax+{\frac {b}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4a5408aab7408e5f628c73f7d9bef9b8cf3c82)
продиференціювавши яку, з врахуванням що
(див. вираз (1)), знаходимо
![{\displaystyle (t{\sqrt {Y}})'=dt{\sqrt {Y}}+td({\sqrt {Y}})=dt{\sqrt {Y}}+t^{2}dx=adx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a6edf4c4e1415fc63bbad78d1a19b23ec4c88d)
Відповідно, після рознесення виразів з
та з
по різні боки цього рівняння, матимемо
(3)
Далі, поділивши попарно ліву та праву частини виразу (3) відповідно на ліву та праву частини виразу (2) знаходимо що
![{\displaystyle {dx \over {\sqrt {Y}}}{1 \over Y^{m}}={dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}={dt \over (a-t^{2})}\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m-1}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14a398a596ba7afdf677c857c0c57c926aca3af)
Тому використовуючи підстановку Абеля початковий інтеграл можна записати у вигляді:
![{\displaystyle \int {dx \over Y^{\frac {2m+1}{2}}}=\int \left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}(a-t^{2})^{m-1}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{m}\int (a-t^{2})^{m-1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111a1f6b69ccb85382b34ed997807bfaf86a1b96)
де можна легко провести інтегрування по змінній
для цілих додатних значень
й після інтегрування просто підставити в кінцевий результат значення змінної
(див. вираз (1)).
Для випадку
матимемо:
![{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {3}{2}}}={4 \over 4ac-b^{2}}\int dt={4t \over {4ac-b^{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)\;\;{ax+{\frac {b}{2}} \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afd33be522737b4977bdc92a9eb95f4fac8fc4b)
Для випадку
матимемо:
![{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {5}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\int (a-t^{2})dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{2}\left(at-{\frac {t^{3}}{3}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab681d29c26fc15cd84a69703763f0d8d49b908d)
куди потім можна підставити явне значення для
(див. вираз (1)) й спростити результат.
Для випадку
матимемо:
![{\displaystyle \int {dx \over (ax^{2}+bx+c)^{\frac {7}{2}}}=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\int (a-t^{2})^{2}dt=\left({4 \over 4ac-b^{2}}\right)^{3}\left(a^{2}t-{\frac {2a}{3}}t^{3}+{\frac {t^{5}}{5}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43dc0f610621441ed76155f4fb2aa0f3fa1aa0bc)
й так далі.
Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення», Т II, Москва 1966.