Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.
Визначення
Передбачимо, що задано ймовірнісний простір
.
Дискретні випадкові величини
Нехай
і
— випадкові величини, такі, що випадковий вектор
має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей
. Нехай
такий, що
. Тоді функція
,
де
- функція ймовірностей випадкової величини
, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини
за умови, що
. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.
Абсолютно неперервні випадкові величини
Нехай
и
- випадкові величини, такі що випадковий вектор
має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей
. Нехай
таке, що
, де
- щільність випадкової величини
. Тоді функція
![{\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da0bc1daba67e8690cc61f2ace5ae7919a94072)
називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини
за умови, що
. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.
Властивості умовних розподілів
- Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема
,
,
і
майже усюди на
,
,
,
.
- Якщо випадкові величини
і
незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:
![{\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{x}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956eaa534b8d5b58f07a6bf3c79feb7f8165e5bb)
або
майже усюди на
.
Умовні ймовірності
Дискретні випадкові величини
Якщо
- зліченна підмножина
, то
.
Абсолютно неперервні випадкові величини
Якщо
- борелівська підмножина
, то припускаємо за визначенням
.
Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки
.
Умовні математичні сподівання
Дискретні випадкові величини
- Умовне математичне сподівання випадкової величини
за умови
виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:
.
- Умовне математичне сподівання
за умови випадкової величини
- це третя випадкова величина
, що задається рівністю
.
Абсолютно неперервні випадкові величини
- Умовне математичне сподівання випадкової величини
за умови
виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:
.
- Умовне математичне сподівання
за умови випадкової величини
- це третя випадкова величина
, що задається рівністю
.
Джерела