Розподіл ймовірностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Дискретний розподіл ймовірностей для суми двох гральних кісток

В математиці та статистиці розпо́діл ймові́рностей (який має математично описуватися функцією розподілу ймовірностей), ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу ймовірностей є ймовірнісною мірою, визначеною на борелівській алгебрі інтервалів.

Розподіл імовірностей є окремим випадком загальнішого означення ймовірнісної міри, яка є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова.

Згідно з означенням П. Лапласа, мірою ймовірності є дріб, чисельником якого є число сприятливих подій, а знаменником — число всіх можливих випадків.[1]

Також деякі вчені означають розподіл як ймовірнісну міру, індуковану випадковою величиною X на деякому інтервалі — ймовірність множини B є P(X^{-1}(B)). Однак у цій статті розглядаємо лише ймовірнісні міри на множині інтервалів числової прямої.

Строге визначення[ред.ред. код]

Будь-яка випадкова величина задається своїм розподілом імовірностей. Якщо X є випадковою величиною, його розподіл ставить у відповідність відрізкам [a, b] ймовірність Pr[aXb], тобто ймовірність, що випадкова величина X прийме значення з інтервалу [a, b]. Розподіл ймовірностей величини X може бути однозначно описаний своєю функцією розподілу ймовірностей F(x), яка визначається, як

 F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]

для усіх x з R.

Розподіл є дискретним, якщо його функція розподілу складається зі скінченної послідовності уступів, що фактично означає, що величина X є дискретною випадковою величиною: вона може набувати значення лише із визначеної скінченної (або зліченної) множини. Дехто визначає неперервний розподіл як такий, що його функція розподілу є неперервною функцією, що означає, що вона відповідає такій випадковій величині X для якої Pr[ X = x ] = 0 для усіх x в R. Інше визначення використовує термін неперервна функція розподілу лише для абсолютно неперервного розподілу. В термінах функції щільності, на множині дійсних чисел визначено невід'ємний інтеграл Лебега функції f, що задовольняє умові

 \Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx

для всіх a та b. Очевидно, для дискретних розподілів функція щільності не визначена; хоча треба відмітити, що для деяких неперервних розподілів, як драбина Кантора функція щільності також не визначена.

Дискретна функція розподілу виражається як —


F(x) = \Pr \left[X \le x \right] = \sum_{x_i \le x} p(x_i)

для i = 1, 2, ...\,\!.

Де p(x_i)\,\! є ймовірністю елементарної події.

  • Розподіл імовірностей суми двох незалежних випадкових величин є згорткою їх функцій щільності.
  • Розподіл імовірностей різниці двох незалежних випадкових величин є крос-кореляцією їх функцій щільності.

Список важливих ймовірнісних розподілів[ред.ред. код]

Деякі ймовірнісні розподіли є дуже важливим в теорії та практиці, тож їм дали свої назви:

Дискретні розподіли[ред.ред. код]

Зі скінченною множиною подій[ред.ред. код]

З нескінченою множиною подій[ред.ред. код]

Неперервні розподіли[ред.ред. код]

Визначені на замкненому інтервалі[ред.ред. код]

Визначений на півінтервалі [0,∞)[ред.ред. код]

Визначені на всій дійсній осі[ред.ред. код]

Згортка розподілів[ред.ред. код]

Для будь-якої множини незалежних випадкових величин функція щільності їх загального розподілу є добутком їх функцій щільності.

Ймовірносний простір розмірності більше 1[ред.ред. код]

Матричні розподіли[ред.ред. код]

Приклади розподілів[ред.ред. код]

Клас розподілів типу зсув масштабу[ред.ред. код]

Кілька нормальних розподілів з одного класу

Клас розподілів \mathfrak{F} називається класом розподілу типу зсув-масштабу, якщо

\exists F_0(\cdot) \in \mathfrak{F} : \forall F(\cdot) \in \mathfrak{F}\ \exists a,b \in \mathbb{R}^1, (b>0) : F(x) = F_0 \left( \frac{x-a}{b} \right)

Сама функція F_0 називається базовою для цього класу розподілів.

Або, якщо говорити звичайною мовою, це набір розподілів, графіки яких однакові, просто зсунуті чи масштабовані вздовж осі x.

Наприклад, всі Нормальні розподіли утворюють клас розподілів типу зсув-масштабу.

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей / В книге: Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — Большая Российская энциклопедия. — 1999. — С. 834 — 869.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]