Умовне математичне сподівання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Умовне математичне сподівання в теорії ймовірностей — середнє значення випадкової величини відносно умовного розподілу.

Визначення[ред.ред. код]

Вважатимемо, що задано ймовірнісний простір . Нехай інтегровна випадкова величина, тобто . Нехай також — під-σ-алгебра σ-алгебри .

УМС відносно σ-алгебри[ред.ред. код]

Випадкова величина називається умовним математичним сподіванням відносно σ-алгебри , якщо

  • вимірна відносно .
  • ,

де індикатор події . Умовне математичне сподівання позначається .

Приклад. Нехай Покладемо . Тоді - σ-алгебра, і . Нехай випадкова величина має вигляд

.

Тоді

УМС щодо сімейства подій[ред.ред. код]

Нехай — довільне сімейство подій. Тоді умовним математичним сподіванням відносно називається

,

де — мінімальна сигма-алгебра, що містить .

Приклад. Нехай Нехай також . Тоді . Не випадкова величина має вигляд

.

Тоді

УМС щодо випадкової величини[ред.ред. код]

Нехай інша випадкова величина. Тоді умовним математичним сподіванням відносно називається

,

де — σ-алгебра, породжена випадковою величиною .

Інше визначення УМС відносно :

Таке визначення конструктивно описує алгоритм знаходження УМС:

  • знайти математичне сподівання випадкової величини , приймаючи за константу ;
  • Потім в отриманому виразі назад замінити на випадкову величину .

Приклад:

Умовна ймовірність[ред.ред. код]

Нехай — довільна подія, і — його індикатор. Тоді умовною ймовірністю відносно називається

.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Умовне математичне сподівання — це випадкова величина, а не число!
  • Умовне математичне сподівання визначене з точністю до подій ймовірності нуль. Таким чином, якщо і -майже усюди, то . Ототожнивши випадкові величини, що розрізняються лише на подіях ймовірності нуль, отримуємо єдиність умовного математичного сподівання.
  • Узявши , отримуємо за визначенням:
,

і зокрема справедлива формула повної ймовірності:

.
  • Нехай σ-алгебра породжена розбиттям . Тоді
.

Зокрема формула повної ймовірності приймає класичний вигляд:

,

а відповідно

.

Основні властивості[ред.ред. код]

  • Якщо , то існує Борелева функція , така що
.

Умовне математичне сподівання щодо події за визначенням рівне

.
  • Якщо м.н., то п.н.
  • Якщо незалежна від , то
м.н.

Зокрема, якщо незалежні випадкові величини, то

м.н.
  • Якщо — дві σ-алгебри, такі що , то
.
  • Якщо - -вимірна, і — випадкова величина, така що , то
.
  • "Математичне сподівання прибирає умову". Це правило вірне для УМС відносно випадкової величини (УМС в такому разі буде випадковою величиною) і для умовної ймовірності відносно випадкової величини
.

Додаткові властивості[ред.ред. код]

УМС для дискретних величин[ред.ред. код]

Нехай дискретна випадкова величина, розподіл якої задається функцією ймовірності . Тоді система подій є розбиттям , і

,

а

,

де означає математичне сподівання узяте щодо умовної ймовірності .

Якщо випадкова величина також дискретна, то

,

де умовна функція ймовірності випадкової величини відносно .

УМС для абсолютно неперервних випадкових величин[ред.ред. код]

Нехай - випадкові величини, такі що вектор абсолютно неперервний, і його розподіл задається густиною ймовірності . Введемо умовну щільність , поклавши за визначенням

,

де - щільність імовірності випадкової величини . Тоді

,

де функція має вигляд

.

Зокрема,

.

УМС у L2[ред.ред. код]

Розглянемо Простір випадкових величин із скінченним другим моментом . У ньому визначені скалярний добуток

,

і породжена ним норма

.

Множина всіх випадкових величин з скінченним другим моментом і вимірних відносно , де , є підпростором . Тоді оператор , що задається рівністю

,

є оператором ортогонального проектування на . Зокрема:

  • Умовне математичне сподівання — це найкраще середньо-квадратичне наближення -вимірними випадковими величинами:
.
.
.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]