Умовне математичне сподівання в теорії ймовірностей — середнє значення випадкової величини відносно умовного розподілу.
Вважатимемо, що задано ймовірнісний простір
. Нехай
— інтегровна випадкова величина, тобто
. Нехай також
— під-σ-алгебра σ-алгебри
.
УМС відносно σ-алгебри[ред. | ред. код]
Випадкова величина
називається умовним математичним сподіванням
відносно σ-алгебри
, якщо
вимірна відносно
.
,
де
— індикатор події
.
Умовне математичне сподівання позначається
.
Приклад. Нехай
Покладемо
. Тоді
- σ-алгебра, і
. Нехай випадкова величина
має вигляд
.
Тоді
=\left\{{\begin{matrix}{\frac {5}{2}},&\omega =1,2\\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d6f525aaf5073595e3273f11bdb09ae71439cd)
УМС щодо сімейства подій[ред. | ред. код]
Нехай
— довільне сімейство подій. Тоді умовним математичним сподіванням
відносно
називається
,
де
— мінімальна сигма-алгебра, що містить
.
Приклад. Нехай
Нехай також
. Тоді
. Не випадкова величина
має вигляд
.
Тоді
=\left\{{\begin{matrix}{\frac {14}{3}},&\omega =1,2,3\\[5pt]16&\omega =4.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7744f40feff93c273e092fd02638478fbf5f13)
УМС щодо випадкової величини[ред. | ред. код]
Нехай
інша випадкова величина. Тоді умовним математичним сподіванням
відносно
називається
,
де
— σ-алгебра, породжена випадковою величиною
.
Інше визначення УМС
відносно
:
Таке визначення конструктивно описує алгоритм знаходження УМС:
- знайти математичне сподівання випадкової величини
, приймаючи
за константу
;
- Потім в отриманому виразі
назад замінити на випадкову величину
.
Приклад:
Нехай
— довільна подія, і
— його індикатор. Тоді умовною ймовірністю
відносно
називається
.
- Умовне математичне сподівання — це випадкова величина, а не число!
- Умовне математичне сподівання визначене з точністю до подій ймовірності нуль. Таким чином, якщо
і
-майже усюди, то
. Ототожнивши випадкові величини, що розрізняються лише на подіях ймовірності нуль, отримуємо єдиність умовного математичного сподівання.
- Узявши
, отримуємо за визначенням:
,
і зокрема справедлива формула повної ймовірності:
.
- Нехай σ-алгебра
породжена розбиттям
. Тоді
.
Зокрема формула повної ймовірності приймає класичний вигляд:
,
а відповідно
.
- Якщо
, то існує Борелева функція
, така що
.
Умовне математичне сподівання
щодо події
за визначенням рівне
.
- Якщо
м.н., то
п.н.
- Якщо
незалежна від
, то
м.н.
Зокрема, якщо
незалежні випадкові величини, то
м.н.
- Якщо
— дві σ-алгебри, такі що
, то
.
- Якщо
-
-вимірна, і
— випадкова величина, така що
, то
.
- "Математичне сподівання прибирає умову". Це правило вірне для УМС відносно випадкової величини (УМС в такому разі буде випадковою величиною) і для умовної ймовірності відносно випадкової величини
.
Додаткові властивості[ред. | ред. код]
УМС для дискретних величин[ред. | ред. код]
Нехай
— дискретна випадкова величина, розподіл якої задається функцією ймовірності
. Тоді система подій
є розбиттям
, і
,
а
,
де
означає математичне сподівання узяте щодо умовної ймовірності
.
Якщо випадкова величина
також дискретна, то
,
де
— умовна функція ймовірності випадкової величини
відносно
.
УМС для абсолютно неперервних випадкових величин[ред. | ред. код]
Нехай
- випадкові величини, такі що вектор
абсолютно неперервний, і його розподіл задається густиною ймовірності
. Введемо умовну щільність
, поклавши за визначенням
,
де
- щільність імовірності випадкової величини
. Тоді
,
де функція
має вигляд
.
Зокрема,
.
Розглянемо Простір випадкових величин із скінченним другим моментом
. У ньому визначені скалярний добуток
,
і породжена ним норма
.
Множина всіх випадкових величин
з скінченним другим моментом і вимірних відносно
, де
, є підпростором
. Тоді оператор
, що задається рівністю
,
є оператором ортогонального проектування на
. Зокрема:
- Умовне математичне сподівання
— це найкраще середньо-квадратичне наближення
-вимірними випадковими величинами:
.
.
.
- Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
- Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6