Умовний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.

Визначення[ред.ред. код]

Передбачимо, що задано ймовірнісний простір .

Дискретні випадкові величини[ред.ред. код]

Нехай і — випадкові величини, такі, що випадковий вектор має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей . Нехай такий, що . Тоді функція

,

де - функція ймовірностей випадкової величини , називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини за умови, що . Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

Нехай и - випадкові величини, такі що випадковий вектор має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей . Нехай таке, що , де - щільність випадкової величини . Тоді функція

називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини за умови, що . Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Властивості умовних розподілів[ред.ред. код]

  • Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема
  • ,
  • ,

і

  • майже усюди на ,
  • ,
  • ,
  • .
  • Якщо випадкові величини і незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:

або

майже усюди на .

Умовні ймовірності[ред.ред. код]

Дискретні випадкові величини[ред.ред. код]

Якщо - зліченна підмножина , то

.

Абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

Якщо - борелівська підмножина , то припускаємо за визначенням

.

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки .

Умовні математичні сподівання[ред.ред. код]

Дискретні випадкові величини[ред.ред. код]

.
  • Умовне математичне сподівання за умови випадкової величини - це третя випадкова величина , що задається рівністю
.

Абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

  • Умовне математичне сподівання випадкової величини за умови виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:
.
  • Умовне математичне сподівання за умови випадкової величини - це третя випадкова величина , що задається рівністю
.

Джерела[ред.ред. код]