Функція ймовірностей

Графік функції мас імовірності. Всі значення цієї функції мусять бути невід'ємними, і давати в сумі 1.

Функція ймовірностей у теорії ймовірностей — найпоширеніший спосіб охарактеризувати дискретний розподіл.

Визначення

Функція довільної імовірності

Нехай $\mathbb {P}$ є ймовірнісною мірою на $\mathbb {R} ^{n}$, тобто визначений ймовірнісний простір $\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)$, де ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ позначає борелівську $\sigma$-алгебру на $\mathbb {R} ^{n}$.

Визначення 1. Ймовірнісна міра називається дискретною, якщо її носій $\mathbb {P}$ є не більш, ніж зліченним, тобто існує не більш, ніж зліченна підмножина $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ така, що $\mathbb {P} (X)=1$.

Визначення 2.Функція $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$, визначена в такий спосіб:

$p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X\end{matrix}}\right.$

називається функцією ймовірності $\mathbb {P}$.

Функція ймовірності випадкової величини

Визначення 3. Нехай $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ — випадкова величина (випадковий вектор). Тоді вона індукує ймовірнісну міру $\mathbb {P} ^{X}$ на $\mathbb {R} ^{n}$, що називається розподілом. Випадкова величина називається дискретною, якщо її розподіл дискретний. Функція ймовірності $p_{X}$ випадкової величини $X$ має вид:

$p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)$.

чи коротше

$p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N}$,

де $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\subset {\mathbb {R} ^{n}}$.

Властивості функції ймовірності

З властивостей імовірності очевидно випливає:

• $p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$.
• $\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$.
• Функція розподілу випадкової величини може бути виражена через її функцію імовірності:

$F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')$.

• Якщо $X=(X_{1},X_{2})$, те

$\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})$,

$\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})$,

де $p_{X_{1},X_{2}}$ — функція імовірності вектора $(X_{1},X_{2})$, а $p_{X_{i}}$ - функція імовірності величини $X_{i},\;i=1,2$. Це властивість очевидна узагальнюється для випадкових векторів розмірності $n>2$.

• Математичне сподівання функції від дискретної величини, якщо воно існує, має вид:

$\mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}$,

за умови що ряд у правій частині є абсолютно збіжним.

Приклади дискретних розподілів

• Розподіл Бернуллі;
• Біноміальний розподіл;
• Геометричний розподіл;
• Гіпергеометричний розподіл;
• Логарифмічний розподіл;
• Від'ємний біноміальний розподіл;
• Розподіл Пуассона;
• Дискретний рівномірний розподіл;
• Мультиноміальний розподіл.