Симплектичний многовид

Симплектичний многовид — це многовид із заданою на ньому симплектичною формою, тобто замкнутою невиродженою диференціальною 2-формою.

Симплектичний многовид дозволяє природним геометричним чином ввести механіку Гамільтона і дає наочне тлумачення багатьом її властивостям.

Означення

Диференціальна 2-форма $\omega$ називається симплектичною структурою, якщо вона невироджена і замкнута, тобто її зовнішня похідна дорівнює нулю:

$d\omega =0$

і для будь-якого ненульового дотичного вектора $v\in T_{x}M$

$\imath _{v}\omega \neq 0$

де $\imath _{v}$ — операція підстановки вектора $v$.

Многовид $M$ називається симплектичним, якщо на ньому задана симплектична структура.

Гамільтонові векторні поля

Нехай $H\colon M\to \mathbb {R}$ — довільна функція на симплектичному многовиді. Симплектична структура ставить у відповідність 1-формам на $M$ особливий клас векторних полів, які називаються гамільтоновими, за правилом

$dH=\imath _{v}\omega .$

В силу невиродженості форми $\omega$ векторне поле $v$ визначене однозначно, позначимо його $IdH$. У канонічних координатах це відображення набуває вигляду

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }},\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }},$

що відповідає рівнянням Гамільтона, при цьому $H$ називається функцією Гамільтона або гамільтоніаном. Дужки Пуассона перетворюють множину гамільтоніанів на $M$ у алгебру Лі і визначені за правилом

$[F,G]=\omega (IdF,IdG).$

Пов'язані означення

• Дифеоморфізм симплектичних многовидів $f\colon M\to N$ називається симплектоморфізмом, якщо він зберігає симплектичну структуру.

Властивості

• Теорема Дарбу: всі симплектичні многовиди локально симплектоморфні. Таким чином, в околі будь-якої точки многовиду можна вибрати канонічні координати, звані також координатами Дарбу, в яких симплектична структура набуває вигляду

$\omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q}$

При цьому в дотичному просторі кожної точки в даному околі виявляється обраний базис Дарбу.

• Гамільтонів фазовий потік зберігає симплектичну структуру:

$\ L_{IdH}\,\omega =0$

Тут $L_{v}$ — похідна Лі за векторним полем $v$. Таким чином, гамільтонів фазовий потік є симплектоморфізмом.

Контактна структура

З кожним симплектичним 2n-мірним многовидом канонічним чином пов'язаний (2n + 1)-мірним контактний многовид, званий його контактизацією. Обернено, для будь-якого (2n + 1)-мірного контактного многовиду існує його симплектизація, що є (2n + 2)-мірним многовидом.

Узагальнення

Многовид називається мультисимплектичним ступня $k$, якщо на ньому задана замкнута невироджена диференціальна k-форма.

Література

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К. : TIMPANI, 2004. — 1040 с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.