Зовнішня похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном.

Зовнішня похідна d має властивість, що d2 = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом.

Визначення[ред.ред. код]

Аксіоматичне визначення[ред.ред. код]

Нехай — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення називається зовнішньою похідною якщо:

  1. Для воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
  2. Для будь-якої форми виконується рівність .

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним.

Визначення за допомогою локальних координат[ред.ред. код]

Для довільної точки існує окіл цієї точки і координатні функції такі що довільну диференціальну k-форму можна записати як

для деяких гладких функцій визначених в цьому околі. Тоді зовнішня похідна в цій точці рівна

Інваріантна формула[ред.ред. код]

Якщо — гладкі векторні поля на многовиді, тоді зовнішня похідна визначається за формулою:

де символ ^ у виразі означає, що вказане векторне поле не є аргументом відповідної диференціальної форми, а позначає дужки Лі векторних полів.

Приклади[ред.ред. код]

1

Нехай σ = u dx1∧dx2 у базисі 1-форм dx1,...,dxn. Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:

2

Для 1-форми σ = u dx + v dy визначеної у R2 з використанням попереднього одержується:

Властивості[ред.ред. код]

Якщо ƒ: MN — гладке відображення і Ωk — гладкий контраваріантний функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k-форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:

Exteriorderivnatural.png

тобто d(ƒ*ω) = ƒ*dω, де ƒ* позначає зворотне відображення від ƒ. Отже d є природнім відображенням з Ωk на Ωk+1.

Література[ред.ред. код]

  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3