Зовнішня похідна

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном.

Зовнішня похідна d має властивість, що d² = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом.

Визначення

Аксіоматичне визначення

Нехай $\Omega ^{k}(M)$ — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення $\mathrm {d} :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для $p=0$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. $\ \mathrm {d} (\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(\mathrm {d} \omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (\mathrm {d} \omega ^{p})$
3. Для будь-якої форми виконується рівність $\mathrm {d} (\mathrm {d} \omega )=0$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним.

Визначення за допомогою локальних координат

Для довільної точки $p\in M$ існує окіл цієї точки і координатні функції $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ такі що довільну диференціальну k-форму можна записати як

$\omega ^{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}},$ для деяких гладких функцій $f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}$визначених в цьому околі. Тоді зовнішня похідна в цій точці рівна

$\mathrm {d} \omega ^{k}|_{p}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {\partial f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}\right|_{p}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.$

Інваріантна формула

Якщо $X_{0},\ldots ,X_{k}$ — гладкі векторні поля на многовиді, тоді зовнішня похідна визначається за формулою:

${\begin{array}{rcl}\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})&=&\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}$

де символ ^ у виразі ${\hat {X}}_{i}$ означає, що вказане векторне поле не є аргументом відповідної диференціальної форми, а $[.,.]$ позначає дужки Лі векторних полів.

Якщо $\nabla$ є афінною зв'язністю із нульовим крученням на многовиді, тобто $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],$ то зовнішню похідну можна також записати за допомогою оператора коваріантної похідної:

$\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}D_{X_{i}}\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})$

Ця рівність є справедливою, зокрема для зв'язності Леві-Чивіти у рімановій геометрії.

Приклади

1

Нехай σ = u dx₁∧dx₂ у базисі 1-форм dx₁,...,dx_n. Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:

$\mathrm {d} \sigma =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}$

$=\sum _{i=3}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}.$

2

Для 1-форми σ = u dx + v dy визначеної у R² з використанням попереднього одержується:

${\text{d}}\sigma =\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\text{d}}x_{i}\wedge {\text{d}}x\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}{\text{d}}x_{i}\wedge {\text{d}}y\right)$

$=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}x+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}{\text{d}}y\wedge {\text{d}}x\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}{\text{d}}y\wedge {\text{d}}y\right)$

$=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+0$

$=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right){\text{d}}x\wedge {\text{d}}y.$

Властивості

Якщо ƒ: M → N — гладке відображення і Ω^k — гладкий контраваріантний функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k-форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:

тобто d(ƒ*ω) = ƒ*dω, де ƒ* позначає зворотне відображення від ƒ. Отже, d є природним відображенням з Ω^k на Ω^k+1.

Література

• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы / Пер. з франц. Б. К. Калякина, А. Н. Тюріна. Под ред. Б. А. Фукса. — М.: Мир, 1971. — 392 с. (рос.)
• Isadore Singer, John A. Thorpe Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry [Архівовано 21 травня 2022 у Wayback Machine.]. — Springer-Verlag, 1967. — ISBN 0-387-90202-3. (англ.)