Полярне коло (геометрія)

Полярне коло

Полярне коло трикутника - це коло, центр якого збігається з ортоцентром трикутника, а радіус дорівнює

${\begin{aligned}r^{2}&=HA\times HD=HB\times HE=HC\times HF\\&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C=4R^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\end{aligned}}$

де A, B, C означають як вершини, так і відповідні кути, а точка H - ортоцентр (перетин висот). Точки D, E і F є основами висот, опущених з вершин A, B і C відповідно, R - радіус описаного кола, а a, b і c - довжини сторін трикутника, протилежних вершинам A, B і C відповідно .

Перша частина формули відбиває факт, що ортоцентр ділить висоти на відрізки, добутки яких рівні. Тригонометрична частина формули показує, що полярне коло існує тільки в разі, коли трикутник є тупокутним, так що один з косинусів від'ємний.

Властивості

Будь-які дві полярні кола двох трикутників ортоцентричної системи ортогональні .

Полярні кола трикутників повного чотирибічника утворюють коаксіальну систему (тобто зі спільною віссю) .

Описане коло трикутника, його коло дев'яти точок, полярне коло й описане коло його тангенціального трикутника коаксіальні.

Література

• Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Mineola, New York : Dover Publications, 2007. — ISBN 0-486-46237-4.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007. — (Dover Books on Mathematics) — ISBN 9780486458052.