Коло дев'яти точок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Дев’ять точок

Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Так називається воно через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:

  • Середина кожної сторони трикутника
  • Основа кожної висоти
  • Середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром

Коло дев’яти точок також відоме як коло Феєрбаха або коло Ейлера.

Доведення теореми про Коло 9 точок[ред. | ред. код]

Малюнок 2

Доведемо тепер, що точки (основи висот), (середини відрізків, що сполучають ортоцентр та вершини трикутника) та (основи медіан) лежать на одному колі (рис. 2).  З'єднаємо точки та , та , та , та , тоді отримаємо паралелограм , тому що серединна лінія в трикутнику тобо паралельна.  серединна лінія в трикутнику звідси випливає, що прарельно . Аналогічним чином доводиться, що паралельно ,  але також паралельно висоті , тоді = 90о звідси випливає, що ­ = 90о. Тобто паралелограм ­ є прямокутником. Тепер з'єднаємо точки та ,  та , та , та . Так само отримаємо, що прямокутник. У цих прямокутниках дві спільні вершини, тобто ці прямокутники лежать на одному колі, бо в них спільний діаметр. Ми довели, що середини відрізків отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника та основи медіан належать одному колу. Зараз доведемо, що основи висот також належать цьому колу. = 90о та спирається на діаметр (бо діагоналі в прямокутниках – є діаметрами кола, що описане навколо прямокутника) кола утвореного з середини відрізків отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, та основ медіан, тобто точка лежить на колі. Аналогічним чином  доводиться, що основи висот також належать цьому колу.

Теорема Феєрбаха[ред. | ред. код]

Теорема Феєрбаха стверджує, що

Коло дев'яти точок довільного трикутника дотикається до вписаного кола і всіх трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.


Ця теорема була сформульована і доведена Карлом Вільгельмом Феєрбахом в 1822-у році.

Посилання[ред. | ред. код]