Симпліціальна множина — теоретико-категорна конструкція, яка узагальнює поняття симпліціального комплексу і в певному сенсі моделює поняття топологічного простору з «хорошими» властивостями: теорія гомотопій для симпліціальних множин еквівалентна класичній теорії гомотопій для топологічних просторів. При тому, що симпліціальна множина є чисто алгебраїчною конструкцією, забезпечується практично повний паралелізм з геометричними об'єктами; в зв'язку з цим вважається одним з найважливіших об'єктів в алгебричній топології як з методологічної точки зору, так і з інструментальної [1].
Оскільки кожен морфізм симпліціальної категорії породжується морфізмами і (), заданими як:
,
,
то симпліціальну множина можна задати як систему -шарів , пов'язаних відповідними (двоїстими до і ) відображеннями і , що задовольняють співвідношення:
, якщо ,
, якщо ,
.
Точки шару називаються -мірним симплексами, до того ж точки шару — вершинами, а шару — ребрами. Морфізми називаються операторами граней, а морфізми — операторами виродження.
Симпліціальне відображення — (функторний) морфізм між симпліціального множинами симпліціального відображення також може бути розглянуто як сукупність відображень , для яких виконуються умови:
(),
().
Симпліціальна множина називається симпліціальною підмножиною, якщо всі шари симпліціального відображення є ін'єктивними відображеннями; в цьому випадку оператори граней і оператори виродження в є звуженнями відповідних операторів для .
Симпліціальною фактор-множиною називається симпліціальна множина, що отримується пошаровою факторизацією симпліціальної множини, тобто, - набір шарів , до того ж оператори граней і виродження шарів-фактор-множини індукуються відповідними операторами множини .
Симпліціальні множини з усіма симпліціальними відображеннями між ними утворюють категорію [2].
Симплекс називається виродженим, якщо існує такий симплекс і такий оператор виродження , що .
Згідно леми Ейленберга — Зільбера будь-який симплекс в єдиний спосіб можна записати у виді , де , а — невироджених симплекс.
Найменша симпліціальна підмножина у , що містить всі його невироджені симплекси розмірності, меншої або рівної n, називається n-кістяком.
Приклади
Для будь-якого топологічного простору X можна ввести симпліціальну множину S(X), що називається сингулярною симпліціальною множиною простору X. Симплексами цієї множини є сингулярні симплекси простору X, тобто образи неперервного відображеннястандартних симплексів. Оператори граней і виродження цієї симпліціальної множини задаються формулами
,
.
Відповідність є функтором з категорії топологічних просторів Тор в категорію симпліціальних множин .
Довільний абстрактний симпліціальний комплексK визначає симпліціальну множину O(K), у якій симплексами розмірності n є (n + 1) — елементні послідовності вершин комплексу K, з властивістю, що в K існує такий симплекс s, що для всіх елементів послідовності. Оператори граней і виродження цієї симпліціальної множини задаються формулами
,
.
де позначає, що відповідний елемент вилучається з послідовності.
Відповідність є функтором з категорії абстрактних симпліціальних комплексів у категорію симпліціальних множин .
Для довільної групи можна ввести симпліціальну множину , для якої симплексами розмірності є класи пропорційних (n + 1)-елементний послідовностей (за означенням , якщо існує такий елемент , що для всіх ). Оператори граней і виродження цієї симпліціальної множини задаються формулами
,
.
є прикладом симпліціальної групи.
Нехай дана категорія лінійно впорядкованих множин та незменшуваних відображень, - підкатегорія категорії , яка складається лише із зростаючих відображен, причому об'єкти Розгляньмо зростаюче відображення , образи яких не містять Для функтора визначений комплекс абелевих груп й диференціалів за та за При цьому -ні когомології є ізоморфними границі . Морфізм за переводиться імерсією Йонеди у натуральне перетворення
компоненти якого діють по формулі
Властивості
Категорія симпліціальних множин допускає індуктивні і проективні границі, що обчислюються на кожному шарі. Зокрема, для будь-яких симпліціальних множин і визначені прямий добуток і пряма сума , до того ж для всіх шарів:
,
.
Косимпліціальна множина
Також використовується двоїсте поняття косимпліціальної множини — коваріантного функтора з симпліціальної категорії в категорію множин: . Косимпліціальні множини мають аналогічну пошарову структуру з операторами граней і виродження (двоїстих до відповідних операторів симпліціальних множин) і утворюють категорію .
Геометричне представлення
Стандартні симплексиіз стандартною топологією евклідового підпростору утворюють косимпліціальний топологічний простір щодо операторів кограней і ковирождення , заданих формулами
Для простору |X| існує клітинне розбиття, клітини якого знаходяться в бієктивній відповідності з невиродженими симплексами симпліціальної множини X. Простір |X| із цим розбиттям називається геометричним представленням симпліціальної множини X.
Симпліціальне відображення визначає неперервне відображення для якого
Відповідність таким чином є функтором з категорії симпліціальних множин в категорію топологічних просторів Тор. Цей функтор є спряженим зліва до сингулярного функтора.
Примітки
↑Габріель, Цісман, 1971, ... Ми маємо на увазі існування майже повного паралелізму (що виражається в еквівалентності відповідних категорій) між гомотопічною теорією топологічних просторів і аналогічною теорією симпліціальних множин — об'єктів, по суті, чисто алгебраїчних. Теорія симпліціальних множин, з одного боку, має велике методологічне значення, істотно проясняючи логічну і концептуальну природу основ алгебричної топології, а з іншого — відіграє роль одного з найпотужніших інструментів топологічного дослідження ... (з передмови М. М. Постникова).
↑ У джерелах 1970-х років використовується позначення . Також використовується позначення